Википедия

Факторизация: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[непроверенная версия][отпатрулированная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Метка: добавление ссылки
с приоритетом попутали
Строка 2:
[[Файл:Factorisatie.svg|thumb|rught|Иллюстрация полинома ''x''<sup>2</sup>&nbsp;+&nbsp;cx&nbsp;+&nbsp;d&nbsp;=&nbsp;(x&nbsp;+&nbsp;a)(x&nbsp;+&nbsp;b), где a&nbsp;+&nbsp;b&nbsp;равно&nbsp;c и a&nbsp;*&nbsp;b&nbsp;равно&nbsp;d.]]
 
В [[Математика|математике]] '''факториза́ция''' или '''фа́кторинг'''  — это декомпозиция объекта (например, [[Число|числа]], [[полином]]а или [[Матрица (математика)|матрицы]]) в [[Умножение|произведение]] других объектов или '''факторов''', которые, будучи [[Умножение|перемноженными]], дают исходный объект. Например, число 15 факторизуется на [[простые числа]] 3 и 5, а полином ''x''<sup>2</sup> - — 4 факторизуется на (''x'' - — 2)(''x'' + 2). В результате факторизации во всех случаях получается произведение более простых объектов, чем исходный.
 
Целью факторизации является приведение объекта к «основным строительным блокам», например, число  — к простым числам, многочлен  — к [[Неприводимый многочлен|неприводимым многочленам]]. Факторизация целых чисел обеспечивается [[Основная теорема арифметики|основной теоремой арифметики]], а многочленов  — [[Основная теорема алгебры|основной теоремой алгебры]].
 
Противоположностью факторизации полиномов является их [[Расширенный полином|расширение]], перемножение полиномиальных факторов для получения «расширенного» многочлена, записанного в виде суммы слагаемых.
Строка 21:
Любой квадратичный [[полином]] на [[Комплексное число|комплексных числах]] (полиномы вида <math>ax^2+bx+c</math>, где: <math>a</math>, <math>b</math>, и <math>c</math> ∈ <math>\mathbb{C}</math>) можно факторизовать [[Алгебраическое выражение|выражениями]] вида <math>a(x - \alpha)(x - \beta) \ </math>, используя [[квадратное уравнение]]. Этот метод состоит в следующем:
 
: <math>
\begin{align}
ax^2 + bx + c & = a(x - \alpha)(x - \beta) \\
Строка 31:
 
=== Полиномы на целых числах ===
: <math>(mx+p)(nx+q),\,\!</math>
где:
: <math>mn = a,\ pq = c\,\!</math>
и
: <math>pn + mq = b. \,</math>
 
Можно каждый бином приравнять нулю и найти для ''x'' два корня. Для факторинга достаточно использовать именно эти формулы для решения квадратного уравнения.
Возьмём для примера 2''x''<sup>2</sup> &minus; 5''x'' + 2 = 0. Поскольку ''a'' = 2 и ''mn'' = ''a'', ''mn'' = 2, что означает, что ''m'' и ''n'' равны 1 и 2. Теперь мы имеем (2''x'' + ''p'')(''x'' + ''q'') = 0. Поскольку ''c'' = 2 и ''pq'' = c, ''pq'' = 2, что означает, что ''p'' и ''q'' равны 1 и 2, или один из них &minus;1, а другой &minus;2. Подстановляя 1 и 2, или &minus;1 и &minus;2 вместо ''p'' и ''q'' (поскольку ''pn'' + ''mq'' = ''b''), мы видим, что 2''x''<sup>2</sup> &minus; 5''x'' + 2 = 0 факторизуется в (2''x'' &minus; 1)(''x'' &minus; 2) = 0, давая корни ''x'' = {0.5, 2}
 
'''Замечание:''' быстый способ определения, является ли второй член положительным или отрицательным (как в приведённом примере, 1 и 2 или &minus;1 и &minus;2) состоит в проверке второй операции трёхчлена (+ или &minus;). Если стоит +, тогда проверяем первую операцию: если она тоже +, член будет положительным, а если операция &minus;, то член будет отрицательным. Если вторая операция &minus;, то один член будет положительный, второй отрицательный. Такая проверка является единственным способом определения, какой член будет положительным, а какой отрицательным.
Строка 52:
Некоторые квадратные уравнения можно факторизовать двумя одинаковыми биномами. Такие уравнения называются полным квадратным трёхчленом. Полный квадратный трёхчлен можно факторизовать следующим образом:
 
: <math> a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2,\,\!</math>
 
и
 
: <math> a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2.\,\!</math>
 
=== Сумма/разность двух квадратов ===
Другой общий метод алгебраического факторинга называют разностью двух квадратов. Он заключается в применении формулы
 
: <math> a^2 - b^2 = (a+b)(a-b),\,\!</math>
 
к любым двум членам, независимо от того, являются они полным квадратным уравнением или нет. Если два члена вычитаются, то нужно просто применить формулу. Если они складываются, то оба бинома, получинные из факторинга, будут иметь мнимый член. Эта формула может быть представлена ​​в виде
 
: <math> a^2 + b^2 = (a+bi)(a-bi). \,\!</math>
 
Например, <math>4x^2 + 49</math> можно факторизовать на <math>(2x + 7i)(2x - 7i)</math>.
Строка 85:
Если квадратный трёхчлен имеет решения на рациональных числах, мы можем найти p и q такие, что pq = ac и p + q = b. (Если дискриминант является квадратом числа, то они существуют, в противном случае мы будем иметь иррациональные или комплексные решения, и предположение о рациональном решении является недопустимым.)
 
: <math>
\begin{align}
ax^2 + bx + c & = \frac{a^2x^2 + abx
Строка 94:
Верхние члены будут иметь общие факторы, которые могут использоваться для избавления от знаменателя, если он не равен 1. В качестве примера рассмотрим квадратичный полином
 
: <math>
\begin{align}
6x^2 + 13x + 6
Строка 100:
</math>
Проверка факторов ac = 36 приводит к 4 + 9 = 13 = b.
: <math>
\begin{align}
6x^2 + 13x + 6 & = \frac{(6x+4)(6x+9)}{6} \\
Строка 109:
 
== Другие полиномы ==
 
=== Сумма/разность двух кубов ===
Выполним факторинг суммы и разности двух кубов. Сумму двух кубов можно представить в виде:
: <math> a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2),\,\!</math>
а разность:
: <math> a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).\,\!</math>
Например, ''x''<sup>3</sup> &minus; 10<sup>3</sup> (или ''x''<sup>3</sup> &minus; 1000) можно факторизовать в виде: (''x'' &minus; 10)(''x''<sup>2</sup> + 10''x'' + 100).
 
== См. также ==
* [[Разложение матрицы]]
* [[Треугольник Паскаля]]
* [[Факториальное кольцо]]
* [[Отношение эквивалентности|Факторизация отображений]]
 
== Ссылки ==
* [http://ega-math.narod.ru/Nquant/Infeld.htm Л. Инфельд, Т.  Е.  Халл Метод факторизации]▼
* [http://primenumb.ru/описание-бд/ Списки простых и факторизованных составных чисел]▼
▲* [http://ega-math.narod.ru/Nquant/Infeld.htm Л. Инфельд, Т. Е. Халл Метод факторизации]
* [http://factors.evalwave.com/ One hundred million numbers factored on html pages.]
* [http://library.thinkquest.org/20991/alg/factoring.html?tqskip1=1 A page about factorization, Algebra, Factoring]
* [http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?module=tool/algebra/factor.en WIMS Factoris] is an online factorization tool.
* [[Wolfram Alpha]] [http://www.wolframalpha.com/input/?i=Factor%20-2006+%2B+1155+x+-+78+x^2+%2B+x^3 can factorize too].
▲* [http://primenumb.ru/описание-бд/ Списки простых и факторизованных составных чисел]
 
[[Категория:Арифметика]]
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Факторизация