Смешанное произведение: различия между версиями

* Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно [[определитель|определителю]] [[Матрица (математика)|матрицы]], составленной из векторов <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>:
: <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math>
* Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно [[определитель|определителю]] [[Матрица (математика)|матрицы]], составленной из векторов <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>, взятому со знаком "«минус"»:
: <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) = - \begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}. </math>
: В частности,
* Если любыекакие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
* Если три вектора [[линейная независимость|линейно зависимы]] (т.&nbsp;е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
* Геометрический смысл  — Смешанное произведение <math> ( \mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c} ) </math> по абсолютному значению равно объёму [[параллелепипед]]а (см. рисунок), образованного векторами <math> \mathbf{a}, \mathbf{b}</math> и <math>\mathbf{c}</math>; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
* Квадрат смешанного произведения векторов равен [[определитель Грама|определителю Грама]], определяемому ими<ref name="Vect">{{книга|автор=Гусятников П.Б., Резниченко С.В.|заглавие=Векторная алгебра в примерах и задачах|место={{М}}|издательство=[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]|год=1985|страниц=232|ссылка=http://reslib.com/book/Vektornaya_algebra_v_primerah_i_zadachah}}</ref>{{rp|215}}.