Эрлангенская программа: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
LGB (обсуждение | вклад) истребление неоднозначностей |
|||
Строка 7:
К середине XIX века геометрия разделилась на множество различных разделов: [[Евклидова геометрия|евклидова]], [[сферическая геометрия|сферическая]], [[Геометрия Лобачевского|гиперболическая]], [[проективная геометрия|проективная]], [[аффинная геометрия|аффинная]], [[Конформное отображение|конформная]], [[Риманова геометрия|риманова]], многомерная, комплексная и т. д. На рубеже веков, уже после доклада Клейна, к ним добавились ещё [[Псевдоевклидово пространство|псевдоевклидова геометрия]] и [[топология]].
Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные [[Группа (математика)|группы]] преобразований пространства, а объектами изучения выступают [[
Например, классическая [[евклидова геометрия]] изучает свойства фигур и тел, сохраняющиеся при движениях без деформации; ей соответствует группа, содержащая [[Вращение|вращения]], [[Параллельный перенос|переносы]] и их сочетания. [[Проективная геометрия]] может изучать [[конические сечения]], но не имеет дела с кругами или углами, потому что круги и углы не сохраняются при [[Проективное преобразование|проективных преобразованиях]]. Топология исследует инварианты произвольных [[Гомеоморфизм|непрерывных преобразований]] (Клейн отметил это ещё до того, как родилась топология). Изучая алгебраические свойства групп преобразований, мы можем открыть новые глубокие свойства соответствующей геометрии, а также проще доказать старые. Подход Клейна унифицировал различные геометрии и их методы, прояснил их различия. Вне данной схемы осталась только [[риманова геометрия]]; для её включения в общую систему понадобилось в 1920-х годах значительно обобщить подход Клейна{{sfn |Визгин В. П.|1973|с=223.}}.
Пример простого доказательства того, что [[Медиана треугольника|медианы]] любого треугольника пересекаются в одной точке. Медиана есть [[Аффинная геометрия|аффинный]] инвариант; если в равностороннем треугольнике
Следует отметить, что после первой алгебраизации геометрии [[Декарт, Рене|Декартом]], то есть в [[Аналитическая геометрия|аналитической геометрии]], имелось одно неудобство: часто приходилось отдельно доказывать геометрический характер результатов, то есть их независимость от системы координат. Дополнительным достоинством подхода Клейна было то, что полученные инварианты по самому смыслу своего определения от системы координат не зависят.
| |||