Теорема Грина: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Gulman228 (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
|||
Строка 49:
Если бы в электростатических задачах мы всегда имели дело с дискретным или непрерывным распределением заряда без всяких граничных поверхностей, то общее решение для [[скаляр]]ного [[Скалярный потенциал|потенциала]]
::<math>\Phi(x)=\int \frac{\varrho(x^')}{|x-x^'|}\, d^3x</math>
было бы самой удобной и непосредственной формой решения таких задач и не нужны были бы ни [[уравнение Лапласа]], ни [[уравнение Пуассона]]. Однако
Строка 57:
Они получаются непосредственно из [[Формула Остроградского|теоремы]] о [[дивергенция|дивергенции]]
::<math>\int\limits_V \operatorname{div}~A\,d^3x=\oint\limits_S A \cdot n\,da </math>,
которая справедлива для любого векторного поля А, определённого в объёме V, ограниченном замкнутой поверхностью S. Пусть <math>A=\varphi \operatorname{grad} ~\psi</math>, где <math>\varphi</math> и <math>\psi \,\!</math> — произвольные дважды
Тогда
::<math>\operatorname{div}
и
::<math>\varphi \; \operatorname{grad}
где <math>\frac{\partial}{\partial n} </math> — [[нормальная производная]] на поверхности S (по
направлению внешней нормали по отношению к объёму V). Подставляя (1) и (2) в теорему о дивергенции, мы придем к ''первой формуле Грина''
::<math>\int\limits_V (\varphi \; \nabla^2 \psi + \operatorname{grad}
Напишем такую же формулу, поменяв в ней местами <math>\varphi</math> и <math>\psi\,\!</math>,
Строка 77:
сократятся и мы получим ''вторую формулу Грина'', называемую иначе ''теоремой Грина'':
::<math>\int\limits_V (\varphi \nabla^2 \psi - \psi \nabla^2 \varphi)\,d^3x = \oint\limits_S [\varphi \frac{\partial \psi}{\partial n} - \psi \frac{\partial \varphi}{\partial n}] \,da </math>.
В [[физика|физике]] и [[математика|математике]] теорема Грина дает соотношение между [[криволинейный интеграл|криволинейным интегралом]] простой ограниченной кривой С и [[двойной интеграл|двойным интегралом]] по плоской поверхности D ограниченной кривой С. И в общем виде записывается следующим образом
::<math>\int\limits_{C} L\, dx + M\, dy = \iint\limits_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA.</math>
В физике Теорема Грина в основном используется для решения двумерных [[потоковый интеграл|потоковых интегралов]], исходя из того, что сумма исходящих потоков в любой точки области равна результирующему потоку, суммируемому по всей ограничивающей поверхности.
Строка 87:
''Третье уравнение Грина'' получается из второго уравнения путем замены <math>\psi = \frac{1}{|\mathbf{x} - \mathbf{y}|}</math> и замечания о том, что <math>\nabla^2 \psi = - 4 \pi \delta \left( \mathbf{x} - \mathbf{y} \right)</math> в <math>{{\mathbb{R}}^{3}}</math>. Если <math>\phi,\,\!</math> дважды дифференцируема на U.
::<math> \oint\limits_{\partial U} \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} {\partial \phi \over \partial n} (\mathbf{y}) - \phi(\mathbf{y}) {\partial \over \partial n_\mathbf{y}} {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|}\right]\, dS_\mathbf{y} - \int\limits_U \left[ {1 \over |\mathbf{x} - \mathbf{y}|} \nabla^2 \phi(\mathbf{y})\right]\, dV_\mathbf{y} = k</math>
<math>k = 4\pi\phi(x),\,\! </math> если
<math>2\pi\phi(x),\,\!</math> если <math> x \in \partial U </math>
и в точке <math> x </math> к граничной поверхности имеется [[касательная плоскость]].
== См. также ==
| |||