Дифференциальная форма: различия между версиями

== Свойства ==
 
* Для дифференциалов дифференциальных форм <math>\omega_F</math> векторного поля <math>F</math> справедливо:
* В локальных координатах, дифференциальная форма может быть записана как
*: <math>\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\;\ldots,\;x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math>
: где <math>dx^i</math> — [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] <math>i</math>-ой координаты <math>x^j</math>, а <math>\wedge</math> — [[внешнее произведение]].
* Для дифференциалов дифференциальных форм <math>\omega_F</math> векторного поля <math>F</math> справедливо:
: <math> d(d \omega_F) = 0 </math>
: <math>d(\omega_F^0) = \omega_{\nabla F}^1</math>
*: <math>\ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)</math>
* Для любой формы справедливо <math>d(d\omega)=0</math>.
* [[теорема Стокса]] — является основой для большинства применений дифференциальных форм.
* Внутреннее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному [[Правило Лейбница|правилу Лейбница]]. Оно связано с внешним дифференцированием и [[Производная Ли|производной Ли]] ''формулой [[Гомотопия|гомотопии]]'':
*: <math>d i_\mathbf{v} + i_\mathbf{v} d = L_\mathbf{v}</math>
 
== Примеры ==
Анонимный участник