Открыть главное меню

Изменения

убрал отсылку к учебникам (неформат, достаточно наличия их в списке литературы), убрал ==см. также== и лишние форматирования
{{Значения|Пространство}}
'''Аффинное пространство'''  служитпространство, обобщениемобобщающее [[аффинная геометрия|аффинныхаффинные свойствсвойства]] [[Евклидово пространство|евклидова пространства]]. Во многом схоже с [[Векторное пространство|векторным пространством]]; однако для аффинного пространства, в отличие от векторного, характерно то, что все точки являются равноправными (в частности, в нём не определено понятие ''нулевой точки'', или ''начала отсчёта'').
 
Во многом схоже с [[Векторное пространство|векторным пространством]]; однако для аффинного пространства, в отличие от векторного, характерно то, что все точки являются равноправными (в частности, в нём не определено понятие ''нулевой точки'', или ''начала отсчёта'').
 
Основы [[аффинная геометрия|теории аффинных пространств]] можно найти в учебниках '''''Кострикина''''' и '''''Манина''''' ('''[[1986]]'''), '''''Беклемишева''''' ('''[[1998]]'''), '''''Шафаревича''''' и '''''Ремизова''''' ('''[[2009]]'''), а также в монографии '''''Болтянского''''' ('''[[1973]]'''), главу II ''Основные понятия многомерной геометрии'' которой сам автор предлагает рассматривать{{sfn|Болтянский В. Г. (1973)|с=7}}
как отдельную маленькую книгу, содержащую полное построение аффинной и евклидовой (многомерной) геометрии на основе аксиоматики [[Вейль, Герман|Вейля]].
 
== Определение ==
 
Аффинное пространство над [[поле (алгебра)|полем]] <math>\mathbb{K}</math>  — множество <math>A</math> со [[действие группы|свободным транзитивным действием]] аддитивной [[группа (математика)|группы]] [[Векторное пространство|векторного пространства]] <math>V</math> над полем <math>\mathbb{K}</math> (если поле <math>\mathbb{K}</math> явно не указано, то подразумевается, что это  — поле [[вещественное число|действительных чисел]]).
 
Данное определение означает{{sfn|Кострикин А. И., Манин Ю. И. (1986)|с=193}}, что определена операция ''сложения'' элементов пространства <math>A</math> (называемых '''точками''' аффинного пространства) с векторами из пространства <math>V</math> (которое называют '''пространством свободных векторов''' для аффинного пространства <math>A</math>), удовлетворяющая следующим аксиомам:
*:# &nbsp;<math>(M + v) + w = M + (v + w)</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp; для всех &nbsp;&nbsp;<math>M\in A</math>&nbsp;&nbsp; и всех &nbsp;&nbsp;<math>v, w\in V</math>&nbsp;;
*:# &nbsp;<math>M + 0 = M</math>&nbsp;&nbsp;&nbsp; для всех &nbsp;&nbsp;<math>M\in A</math>&nbsp;;
*:# &nbsp;для любых двух точек &nbsp;&nbsp;<math>M, N\in A</math>&nbsp;&nbsp; существует единственный вектор &nbsp;&nbsp;<math>v\in V</math>&nbsp;&nbsp; (обозначаемый &nbsp;<math>\overrightarrow{MN}</math>) &nbsp;&nbsp;со свойством &nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>N = M + v</math>&nbsp;.
 
Таким образом, образ действия &nbsp;&nbsp;<math>v\in V</math>&nbsp;&nbsp; на &nbsp;&nbsp;<math>M\in A</math>&nbsp;&nbsp; обозначается &nbsp;&nbsp;<math>M + v</math>&nbsp;.
 
== Обобщения ==
 
* Аналогичным образом определяется аффинное пространство над [[тело (алгебра)|телом]].
 
== Связанные определения и свойства ==
 
Применяя обозначения [[барицентрическое исчисление|барицентрического исчисления]], можно{{sfn|Кострикин А. И., Манин Ю. И. (1986)|с=194}} [[вектор (математика)|вектор]] &nbsp;<math>\overrightarrow{MN}</math>&nbsp;&nbsp; обозначать так: &nbsp;&nbsp;<math>N - M</math>&nbsp;.
 
Таким образом, точки аффинного пространства можно ''вычитать'' друг из друга, получая [[вектор (математика)|векторы]] пространства свободных векторов. А вот результат сложения точки с точкой непосредственного смысла (т.е. интерпретации в виде точки или вектора) не имеет.
 
В общем случае возможно рассматривать{{sfn|Кострикин А. И., Манин Ю. И. (1986)|с=198}} произвольные [[линейные комбинации]] точек аффинного пространства. Однако результат обретает смысл в следующих двух случаях:
* комбинация — [[барицентрическая комбинация|барицентрическая]] (т.е. сумма её коэффициентов равна 1), и тогда она будет точкой из <math>A</math>;
* комбинация — [[сбалансированная комбинация|сбалансированная]] (т.е. сумма её коэффициентов равна 0), и тогда она будет вектором из <math>V</math>.
 
Данный вывод следует из того, что формальная сумма
 
Таким образом, точки аффинного пространства можно ''вычитать'' друг из друга, получая [[вектор (математика)|векторы]] пространства свободных векторов. А вот результат сложения точки с точкой непосредственного смысла (т.е.то есть интерпретации в виде точки или вектора) не имеет.
<math>\sum_{i=1}^n {a_i P_i}</math>
 
В общем случае возможно рассматривать{{sfn|Кострикин А. И., Манин Ю. И. (1986)|с=198}} произвольные [[линейные комбинации]] точек аффинного пространства. Однако результат обретает смысл в следующих двух случаях:
для барицентрической комбинации точек может быть ''определена'' как выражение
* комбинация  — [[барицентрическая комбинация|барицентрическая]] (т.е.то есть сумма её коэффициентов равна 1), и тогда она будет точкой из <math>A</math>;
* комбинация  — [[сбалансированная комбинация|сбалансированная]] (т.е.то есть сумма её коэффициентов равна 0), и тогда она будет вектором из <math>V</math>.
 
Данный вывод следует из того, что формальная сумма:
<math>\sum_{i=1}^n {a_i P_i} = P + \sum_{i=1}^n {a_i (P_i - P)}</math>
 
: <math>\sum_{i=1}^n {a_i P_i}</math>
(при этом выражение в правой части равенства фактически от выбора точки <math>P\in A</math> не зависит), а для сбалансированной комбинации — как выражение
 
для барицентрической комбинации точек может быть ''определена'' как выражение:
<math>\sum_{i=1}^n {a_i P_i} = \sum_{i=1}^n {a_i (P_i - P)}</math>.
 
: <math>\sum_{i=1}^n {a_i P_i} = P + \sum_{i=1}^n {a_i (P_i - P)}</math>
 
(при этом выражение в правой части равенства фактически от выбора точки <math>P\in A</math> не зависит), а для сбалансированной комбинации  — как выражение:
Примером барицентрической комбинации точек служит понятие их [[барицентр|барицентра]]. Именно, '''барицентр''' <math>n</math> точек <math>P_i</math> — это точка
 
: <math>P =\sum_{i=1}^n {a_i P_i} = \fracsum_{i=1}{^n} {a_i (P_i - P)}</math>.
 
Примером барицентрической комбинации точек служит понятие их [[барицентр|барицентра]]а. Именно, '''барицентр''' <math>n</math> точек <math>P_i</math>  — это точка :
(для двух точек <math>P_1, P_2</math> получается середина соединяющего их отрезка, для трёх точек <math>P_1, P_2, P_3</math> — точка пересечения медиан треугольника, вершинами которого служат эти точки).
 
: <math>P =\sum_{i=1}^n {a_i P_i} = \sum_frac{i=1}^{n} {a_i (P_i - P)}</math>.
Примером сбалансированной комбинации точек служит вектор &nbsp;&nbsp;<math>N - M</math>&nbsp; (здесь коэффициенты комбинации равны 1 и -1, так что сумма коэффициентов равна 0).
 
(для двух точек <math>P_1, P_2</math> получается середина соединяющего их отрезка, для трёх точек <math>P_1, P_2, P_3</math>  — точка пересечения медиан треугольника, вершинами которого служат эти точки).
 
Примером сбалансированной комбинации точек служит вектор &nbsp;&nbsp;<math>N - M</math>&nbsp; (здесь коэффициенты комбинации равны 1 и -1−1, так что сумма коэффициентов равна 0).
Выкладки над барицентрическими комбинациями точек во многом схожи с выкладками над линейными комбинациями векторов; например, можно отбрасывать слагаемые с нулевыми коэффициентами. При таких выкладках полезно иметь в виду следующее общее свойство барицентрических комбинаций: если образовать из нескольких барицентрических комбинаций точек новую барицентрическую комбинацию, то полученная (после приведения подобных членов) комбинация исходных точек вновь будет барицентрической{{sfn|Кострикин А. И., Манин Ю. И. (1986)|с=199}}.
 
Выкладки над барицентрическими комбинациями точек во многом схожи с выкладками над линейными комбинациями векторов; например, можно отбрасывать слагаемые с нулевыми коэффициентами. При таких выкладках полезно иметь в виду следующее общее свойство барицентрических комбинаций: если образовать из нескольких барицентрических комбинаций точек новую барицентрическую комбинацию, то полученная (после приведения подобных членов) комбинация исходных точек вновь будет барицентрической{{sfn|Кострикин А. И., Манин Ю. И. (1986)|с=199}}.
По аналогии с понятием [[линейная независимость|линейной независимости]] векторов вводят понятие ''аффинной независимости'' точек аффинного пространства. Именно: точки <math>P_0, P_1, \ldots, P_n</math> называют{{sfn|Болтянский В. Г. (1973)|с=138}} '''аффинно зависимыми''', если какую-либо из них, скажем, <math>P_0</math>, можно представить в виде ''барицентрической комбинации'' остальных точек. В противном случае эти точки называются '''аффинно независимыми'''.
 
По аналогии с понятием [[линейная независимость|линейной независимости]] векторов вводят понятие ''аффинной независимости'' точек аффинного пространства. Именно: точки <math>P_0, P_1, \ldots, P_n</math> называют{{sfn|Болтянский В. Г. (1973)|с=138}} '''аффинно зависимыми''', если какую-либо из них, скажем, <math>P_0</math>, можно представить в виде ''барицентрической комбинации'' остальных точек. В противном случае эти точки называются '''аффинно независимыми'''.
[[Размерность пространства|Размерность]] аффинного пространства равна{{sfn|Болтянский В. Г. (1973)|с=135}} по определению размерности соответствующего пространства свободных векторов. При этом число точек в максимальном аффинно независимом множестве точек аффинного пространства оказывается на единицу больше размерности пространства.
 
[[Размерность пространства|Размерность]] аффинного пространства равна{{sfn|Болтянский В. Г. (1973)|с=135}} по определению размерности соответствующего пространства свободных векторов. При этом число точек в максимальном аффинно независимом множестве точек аффинного пространства оказывается на единицу больше размерности пространства.
Любое из максимальных аффинно независимых множеств точек аффинного пространства можно трактовать как [[точечный базис]] (перенумеровав данные точки тем или иным способом). Всякую точку пространства можно представить в виде барицентрической комбинации точек, входящих в точечный базис; коэффициенты этой комбинации называют{{sfn|Кострикин А. И., Манин Ю. И. (1986)|с=199}} [[барицентрические координаты|барицентрическими координатами]] рассматриваемой точки.
 
Любое из максимальных аффинно независимых множеств точек аффинного пространства можно трактовать как [[точечный базис]] (перенумеровав данные точки тем или иным способом). Всякую точку пространства можно представить в виде барицентрической комбинации точек, входящих в точечный базис; коэффициенты этой комбинации называют{{sfn|Кострикин А. И., Манин Ю. И. (1986)|с=199}} [[барицентрические координаты|барицентрическими координатами]] рассматриваемой точки.
== См. также ==
* [[Аффинное подпространство]]
* [[Векторное пространство]]
* [[Флаг (математика)]]
 
== Примечания ==
 
== Литература ==
* Кострикин А. И., Манин Ю.  И.  Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука, 1986. 304 с.
* ''[[Беклемишев, Дмитрий Владимирович|Беклемишев Д. В.]] Аналитическая геометрия и линейная алгебра. М.: Высшая школа, 1998. 320 с.
* ''[[Шафаревич, Игорь Ростиславович|Шафаревич И. Р.]], Ремизов А. О.'' Линейная алгебра и геометрия. М.: Физматлит, 2009. 511 с.
* Болтянский В.  Г.  Оптимальное управление дискретными системами. М.: Наука, 1973. 446 с.
 
[[Категория:Аффинная геометрия]]