Конечное расширение: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Нет описания правки |
Нет описания правки |
||
Строка 7:
Если [[неприводимый многочлен]] <math>\alpha</math> над <math>K</math> имеет степень <math>n</math>, то <math>[E:K]=n</math>.
В башне полей <math>K\supset E \supset F</math>, поле <math>F</math> конечно над <math>K</math> тогда и только тогда, когда <math>F</math> конечно над <math>E</math> и <math>E</math> конечно над <math>K</math>. Это легко следует из основных свойств векторных пространств. В этом случае если <math>e_1,...e_n</math> — базис <math>E</math> над <math>K</math> и <math>f_1,...f_m</math> — базис <math>F</math> над <math>E</math> то <math>f_1e_1, f_1e_2,...f_1e_n, f_2e_1,...f_me_1,...f_me_n</math> — базис <math>F</math> над <math>K</math>, отсюда <math>[F:E][E:K]=[F:K]</math>.
Конечное расширение E является [[Конечно порождённое расширение|конечно порождённым]]. В качестве порождающих элементов можно взять элементы любого базиса <math>E=K(e_1,...e_n)</math>. Обратно, любое конечно порождённое алгебраическое расширение является конечным. В самом деле, <math>K(\alpha_1,\alpha_2,...\alpha_n)=K(\alpha_1)(\alpha_2)...(\alpha_n)</math>. Элементы <math>\alpha_i</math> будучи алгебраическими над <math>K</math> остаются таковыми и над бо́льшим полем <math>K(\alpha_1)...(\alpha_{i-1})</math>. Далее применяем теоремы о конечности простых алгебраических расширений и башне конечных расширений.
Если <math>E \supset K</math> конечно, то для любого расширения <math>F \supset K</math> то, (если <math>F</math> и <math>E</math> содержатся в каком-нибудь поле) композит полей <math>EF</math> является конечным расширением <math>F</math>).
== Литература ==
* Ван дер Варден Б.
* Зарисский О., Самюэль П. ''Коммутативная алгебра т.1'' —
* Ленг С. ''Алгебра'' —
[[Категория:Теория полей]]
| |||