Простое число Фибоначчи — Вифериха: различия между версиями

Простое ''<math>p'' &gt; >5</math> называется простым числом Фибоначчи- — Вифериха, если ''p''<supmath>p^2</supmath> делит [[число Фибоначчи]] <math>F_{p - \left(\frac{{p}}{{5}}\right)}</math>, где [[символ Лежандра]] <math>\left(\tfrac{p}{5}\right)</math> определяется как:

: <math>\left(\frac{p}{5}\right) = \begin{cases} 1, &\text{if}\ p \equiv \pm1 \pmod 5\\ -1, &\text{if}\ p \equiv \pm2 \pmod 5 \end{cases}</math>

Эквивалентное определение: простое ''<math>p''</math> называется простым числом Фибоначи- — Вифериха, если ''L<submath>p</sub>''L_p &\equiv; 1 \, (\mod ''p''<sup>^2)</supmath>), где ''L<submath>pL_p</submath>'' — – ''<math>p''</math>-ое [[число Люка]].<ref>{{cite journal | last = Vladica | first = A. | title = On Fibonacci powers | journal = Univ. Beograd Publ. Elektrotehn. Fak. Ser. Mat. | volume = 17 | pages = 38-44 | year = 2006 | url = http://www.doiserbia.nb.rs/img/doi/0353-8893/2006/0353-88930617038A.pdf | doi = 10.2298/PETF0617038A}}</ref>{{rp|42}}

Существует гипотеза, что простых чисел Фибоначчи – — Вифериха бесконечно много.<ref>{{Citation |last=Klaška |first=Jiří |year=2007 |title=Short remark on Fibonacci−Wieferich primes |journal=Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis |volume=15 |issue=1 |pages=21–25 |url=http://dml.cz/dmlcz/137492 }}.</ref>, однако кпо декабрюсостоянию [[2012на 2013 год]]а ни одно такое простое число не обнаружено.

В [[2007 год]]у Ричард Макинтош (''Richard J. McIntosh'') и Эрик Рётгер (''Eric L. Roettger'') показали, что если они существуют, онито должны быть больше 2{{e|14}}.<ref>{{cite journal |first=R. J. |last=McIntosh |first2=E. L. |last2=Roettger |title=A search for Fibonacci−Wieferich and Wolstenholme primes |journal=[[Mathematics of Computation]] |volume=76 |issue=260 |year=2007 |pages=2087–2094 |url=http://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:vR220ldvztoJ:citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download%3Fdoi%3D10.1.1.105.9393%26rep%3Drep1%26type%3Dpdf+wolstenholme+prime+fermats+last+theorem&hl=de&gl=de&pid=bl&srcid=ADGEESirfd2SXu_6m_rBnSa9_J1FEV6pXYhaszGMjogRPDIU003Qu8eBknikKaTgUzQpx2vBJE8zxyIyu8c5bo_UgXpGYXP2PeSvMaXSqUrynptDXRktVJw28_i2Tm6GCdEtYWOt7e7E&sig=AHIEtbQRB1Z0Tpz9k0f8kYnzyJp1saeAPg |doi=10.1090/S0025-5718-07-01955-2}}</ref>, в 2010 году Франсуа Дорэ (''François G. Dorais'') и Доминик Клайв (''Dominic Klyve'') довели границу до 9,7{{e|14}}<ref>{{Cite paper |last=Dorais |first=F. G. |last2=Klyve |first2=D. W. |url=http://www-personal.umich.edu/~dorais/docs/wieferich.pdf |title=Near Wieferich primes up to 6.7&nbsp;×&nbsp;10¹⁵ |year=2010 }}</ref>. В [[Декабрь 2011 года|декабре 2011 года]] был начат поиск в проекте [[PrimeGrid]]<ref>PrimeGrid [http://www.primegrid.com/forum_thread.php?id=3894 Announcement of Wieferich and Wall-Sun-Sun searches]</ref>,

Простые числа Уолла–Сана–СанаУолла — Суня — Суня названы в честь [[Дональд Уолл|Дональда Уолла]] (''Donald Dines Wall''),<ref>{{Citation |first=D. D. |last=Wall |title=Fibonacci Series Modulo m |journal=[[American Mathematical Monthly]] |volume=67 |issue=6 |year=1960 |pages=525–532 |doi=10.2307/2309169 }}</ref>, [[ЖиЧжи ХонгХон СанСунь|Чжи Хон Суня]] (''Zhi Hong Sun'') и [[ЖиЧжи ВайВэй СанСунь|Чжи Вэй Суня]] (''Zhi Wei Sun''), которые в [[1992 год]]у показали, что если первый случай [[Великая теорема Ферма|великой теоремы Ферма]] неверен для некоторого простого ''<math>p''</math>, то ''<math>p''</math> должно быть простым числом Фибоначи- — Вифериха.<ref>{{Citation |first=Zhi-Hong |last=Sun |first2=Zhi-Wei |last2=Sun |year=1992 |title=Fibonacci numbers and Fermat’s last theorem |journal=[[Acta Arithmetica]] |volume=60 |issue=4 |pages=371–388 |url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa60/aa6046.pdf }}</ref>. Таким образом, до доказательства великой теоремы Ферма [[Уайлс, Эндрю Джон|Эндрю Уайлсом]] (Andrew Wiles), поиск простых Фибоначчи – — Вифериха преследовал цель найти потенциальный [[контрпример]].

* {{Citation |title=Prime Numbers: A Computational Perspective |first=Richard E. |last=Crandall |first2=Carl |last2=Pomerance |publisher=Springer |year=2001 |page=29 |isbn=0-387-94777-9 }}

* Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=WallSunSunPrime The Prime Glossary: Wall–Sun–SunWall-Sun-Sun prime] at the [[Prime Pages]].

* Richard McIntosh, [http://www.loria.fr/~zimmerma/records/Wieferich.status Status of the search for Wall–Sun–SunWall-Sun-Sun primes (October 2003)]