Граница (топология): различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Tosha (обсуждение | вклад) мНет описания правки |
ПБХ (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 1:
'''Грани́ца мно́жества''' в [[Общая топология|общей топологии]] - это такое множество, что его точки могут быть приближены как изнутри данного множества, так и снаружи.
== Определение ==
Пусть дано [[топологическое пространство]] <math>(X,\mathcal{T})</math>, где <math>X</math> - произвольное [[множество]], а <math>\mathcal{T}</math> - определённая на <math>X</math> [[топология]]. Пусть <math>A\subset X.</math> Точка <math>x_0\in X</math> называется '''грани́чной то́чкой мно́жества''' <math>A</math>, если для любой её [[Окрестность|окрестности]] <math>U\in \mathcal{T}, U\ni x_0</math> справедливо:
:<math>U \cap A \neq \emptyset,\; U \cap A^{\complement} \neq \emptyset.</math>
Множество всех граничных точек множества <math>A</math> называется границей и обозначается <math>\partial A.</math>
== Свойства ==
* <math>\partial A = \partial \left(A^{\complement}\right);</math>
* <math>\partial A = \bar{A} \setminus A^0;</math>
* <math>\partial A</math> - [[замкнутое множество]];
* <math>A</math> - [[открытое множество]] тогда и только тогда, когда <math>A \cap \partial A = \emptyset;</math>
* <math>A</math> - замкнутое множество тогда и только тогда, когда <math>\partial A \subset A;</math>
* <math>A</math> - открытое и одновременно замкнутое множество тогда и только тогда, когда <math>\partial A = \emptyset;</math>
* <math>\partial \partial A \subset \partial A</math>, причем равенство <math>\partial \partial A = \partial A</math> достигается тогда и только тогда, когда <math>(\partial A)^0 = \emptyset;</math>
* <math>\partial \partial \partial A = \partial \partial A.</math>
== Примеры ==
Рассмотрим [[Вещественное число|числовую прямую]] <math>\mathbb{R}</math> со [[Стандартная топология вещественной прямой|стандартной топологией]]. Тогда
* <math>\partial (a,b) = \partial (a,b] = \partial [a,b) = \{a,b\};</math>
* <math>\partial \mathbb{R} = \emptyset;</math>
* <math>\partial \mathbb{Q} = \mathbb{R}.</math>
== См. также ==
* [[Внутренность]];
* [[Замыкание (геометрия)]];
* [[Дополнение (теория множеств)]].
[[Категория:Общая топология]]
[[Категория:Математический анализ]]
[[en:Boundary (topology)]]
| |||