Википедия

Признак д’Аламбера: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[непроверенная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
мНет описания правки
Строка 1:
'''При́знак д’Аламбе́ра''' (или '''Признак Даламбера''')  — признак сходимости [[числовой ряд|числовых рядов]], установлен [[д'АламберД’Аламбер, Жан Лерон|Жаном д’Аламбером]] в [[1768]] г.
 
Если для числового ряда
: <math>\sum_{n=0}^\infty a_n</math>
существует такое число <math>q</math>, <math>0 < q < 1</math>, что начиная с некоторого номера выполняется неравенство
: <math>\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}a_n} \right| \leleqslant q,</math>▼
некоторого номера выполняется неравенство
то данный ряд [[абсолютная сходимость|абсолютно сходится]]; если же, начиная с некоторого номера▼
▲: <math>\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| \le q,</math>
: <math>\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}a_n} \right| > 1,</math>▼
▲то данный ряд [[абсолютная сходимость|абсолютно сходится]]; если же, начиная
с некоторого номера
▲: <math>\left| \frac {a_{n+1}} {a_{n}} \right| > 1,</math>
то ряд расходится.
 
== Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме ==
Если существует предел
: <math>\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right|,</math>▼
 
то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если <math>\rho < 1</math>, а если <math>\rho > 1</math>  — расходится .▼
▲: <math>\rho = \lim_{n \to \infty} \left| \frac {a_{n+1}} {a_n} \right|,</math>
 
▲то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если <math>\rho < 1</math>, а если <math>\rho > 1</math> — расходится .
 
'''Замечание.''' Если <math>\rho=1</math>, то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.
 
== Доказательство ==
# <math>q<1</math>, тогда существует <math>\varepsilon>0\colon\;q+\varepsilon<1\;\lim_{n\to\infty}\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)<q+\varepsilon</math>, существует <math>n_0</math>, для любого <math>n>n_0\;\left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)<q+\varepsilon=\frac{(q+\varepsilon)^{n+1}}{(q+\varepsilon)^n}</math>.<br />Ряд из <math>b_n=(q+\varepsilon)^n</math> сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из <math>a_n</math> сходится (по признаку сравнения).
*1) q<1, тогда существует ε>0, q+ε<1, lim (a_n+1/a_n)<q+ε,
*2)# <math>q>1</math>, тогда существует ε<math>\varepsilon>0: \colon\;q-ε\varepsilon<1. \;\left(a_n\frac{a_{n+1/}}{a_n}\right)> q-ε\varepsilon>1</math>. <math>a_n+1>a_n</math> для любого <math>n>n_0</math>. Тогда <math>a_n</math> не стремится к нулю и ряд расходится.▼
существует n_0, для любого n>n_0 (a_n+1/a_n)<q+ε=(q+ε)^n+1/(q+ε)^n.
Ряд из b_n=(q+ε)^n сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из a_n сходится (по признаку сравнения).
▲*2)q>1, тогда существует ε>0: q-ε<1. (a_n+1/a_n)> q-ε>1. a_n+1>a_n для любого n>n_0. Тогда a_n не стремится к нулю и ряд расходится.
 
== Примеры ==
* Ряд
:: <math>\sum_{n=0}^\infty \frac {z^n} {n!}</math>
: абсолютно сходится для всех комплексных <math>z</math>, так как
:: <math>\lim lim_{n\to\infty}\left|\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}} {{z^n}/{n!}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{|z|}{n+1}=0.</math>
= \lim \frac {|z|} {n+1} = 0,</math>
* Ряд
:: <math>\sum_{n=0}^\infty n! \; z^n</math>
: расходится при всех <math>z\not=0neq0</math>, так как
:: <math>\lim lim_{n\to\infty}\left| \frac {(n+1)! \; z^{n+1}} {n! \; z^n} \right|=\lim_{n\to\infty}|(n+1)z|=\infty.</math>
* Если <math>\rho = 1</math>, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда▼
= \lim |(n+1)z| = \infty.</math>
:: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac {1 }{n}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;и &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\sum_{n=1}^\infty \frac {1 }{n^2}</math>▼
 
: удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.▼
▲* Если <math>\rho = 1</math>, то ряд может как сходиться, так и расходиться: оба ряда
▲:: <math>\sum_{n=1}^\infty \frac 1 n</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;и &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<math>\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^2}</math>
▲:удовлетворяют этому условию, причём первый ряд расходится, а второй сходится.
 
{{Признаки сходимости рядов}}
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Признак_д’Аламбера