Замкнутое множество: различия между версиями

1224 байта добавлено ,  8 лет назад
дополнение, оформление источников, пунктуация
м (26 интервики-ссылок перенесено на Викиданные, d:q320357)
(дополнение, оформление источников, пунктуация)
{{другие значения термина|Замкнутость|Замкнутость}}
'''За́мкнутое мно́жество''' — подмножество пространства, [[Разностьразность множеств|дополнение]] к которому [[открытое множество|открыто]].
 
== Определение ==
Пусть дано [[топологическое пространство]] <math>(X,\mathcal{T})</math>.
[[Множество]] <math>V \subset X</math> называется '''замкнутым''' относительно топологии <math>\mathcal{T}</math>, если существует [[открытое множество]] <math>U \in \mathcal{T},</math> такое, что <math>V = X \setminus U</math>.
 
== Замыкание ==
[[Замыкание (топология)|Замыканием]] множества <math>U</math> топологического пространства <math>X</math> называют минимальное по включению замкнутое множество <math>Z</math>, содержащее <math>U</math>.
 
Замыкание множества <math>U \subset X</math> обычно обозначается <math>\bar U</math>, <math>\mathop{\rm Cl}U</math> или <math>\mathrm{Cl}_X U</math>;
последнее обозначение используется, если надо подчеркнуть, что <math>\bar U</math> рассматривается как множество в пространстве <math>X</math>.
 
== Свойства ==
* Множество <math>U</math> замкнуто тогда и только тогда, когда <math>\bar U=U</math>.
* Важный подкласс замкнутых множеств образуют '''канонически замкнутые множества''', каждое из которых является [[замыкание (геометрия)|замыканием]] какого-либо открытого множества (и, следовательно, совпадает с замыканием своей внутренности). В каждом замкнутом множестве <math>F</math>&nbsp; содержится максимальное канонически замкнутое множество — им будет замыкание внутренности множества <math>F</math>&nbsp;<ref>{{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]], Пасынков В. А.&nbsp;|заглавие=Введение в теорию размерности|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страниц=576}} — C. 24.</ref>.
 
== Примеры ==
* [[Пустое множество]] <math>\emptyset</math> всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
* Отрезок <math>[a,b] \subset \mathbb{R}</math> замкнут в стандартной топологии на [[Вещественноевещественное число|вещественной прямой]], так как его дополнение открыто.
* Множество <math>\mathbb{Q} \cap [0,1]</math> замкнуто в пространстве [[Рациональное число|рациональных чисел]] <math>\mathbb{Q}</math>, но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел <math>\mathbb{R}</math>.
 
* [[Открытое множество]]
* [[Замыкание (геометрия)]]
 
== Примечания ==
{{Примечания}}
 
== Литература ==
* {{книга|автор=Завало С. Т.&nbsp;|заглавие=Елементи аналізу. Алгебра многочленів|место=Київ|издательство=Радянська школа|год=1972|ref=Завало}}
# {{cite book
* {{книга|автор=Колмогоров А. Н., Фомин С. В.&nbsp;|заглавие=Элементы теории функций и функционального анализа|место=М.|издательство=Физматлит|год=2004|страниц=575|isbn=5-9221-0266-4|ref=Колмогоров, Фомин}}
|автор = А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин
* {{книга|автор=Фихтенгольц Г. М.&nbsp;|заглавие=Основы математического анализа|место=М.|издательство=Наука|год=1954|ref=Фихтенгольц}}
|title = Элементы теории функций и функционального анализа
 
|издательство = «Наука»
 
|год = 1989
|место = Москва}}
# {{cite book
|автор = С. Т. Завало
|title = Елементи аналізу. Алгебра многочленів
|издательство = «Радянська школа»
|год = 1972
|место = Київ}}
# {{cite book
|автор = Фихтенгольц
|title = Основы математического анализа
|издательство = «Наука»
|год = 1954
|место = Москва}}
 
[[Категория:Математический анализ]]