Дифференциальная форма: различия между версиями

отмена правки 54775081 участника Melirius (обс) — что-то странное
(отмена правки 54775081 участника Melirius (обс) — что-то странное)
'''Дифференциа́льная фо́рма''' порядка <math>k</math> или '''<math>k</math>-форма''' — кососимметрическое [[тензорное поле]] типа <math>(0, k)</math> на [[касательное расслоение|касательном расслоении]] [[многообразие|многообразия]].
 
Дифференциальные формы были введены [[Картан, Эли Жозеф|Эли Картаном]] в начале XX века.
 
Формализм дифф'''Дифференциа́льная фо́рма''' порядка <math>k</math> или '''<math>k</math>-форма''' — кососимметрическое [[тензорное поле]] типа <math>(0, k)</math> на [[касательное расслоение|касательном расслоении]] [[многообразие|многообразия]].
 
Дифференциальные формы были введены [[Картан, Эли Жозеф|Эли Картаном]] в начале XX века.
'''<math>k</math>-формой''' на <math>\mathbb{R}^n</math> будем называть выражение следующего вида
: <math>\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math>
где <math>f_{i_1i_2\ldots i_k}</math>  — гладкие функции, <math>dx^i</math>  — [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] <math>i</math>-ой координаты <math>x^i</math> (функция от вектора, возвращающая его координату с номером <math>i</math>&nbsp;), а <math>\wedge</math>  — [[Внешняя алгебра|внешнее произведение]].
При смене координат это представление меняет форму.
 
* Дифференциальная форма называется '''замкнутой''', если её внешняя производная равна 0.
* ''k''-форма называется '''точной''', если её можно представить как дифференциал некоторой <math>(k-1)</math>-формы.
* Факторгруппа <math>H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1}</math> замкнутых ''k''-форм по точным ''k''-формам называется '''<math>k</math>-мерной группой когомологий де Рама'''. [[Когомологии де Рама#Теорема де Рама|Теорема де Рама]] утверждает, что она изоморфна ''k''-мерной группе [[Сингулярные когомологии|сингулярных когомологий]].
* '''Внутренней производной''' формы <math>\omega</math> по векторному полю <math>\mathbf{v}</math> называется форма
: <math>i_\mathbf{v} \omega (u_1, \dots, u_n) = \omega(\mathbf{v}, u_1, \dots, u_n)</math>
 
== Свойства ==
 
* Для дифференциалов форм <math>\omega_F</math> векторного поля <math>F</math> справедливо:
: <math> d(d \omega_F) = 0 </math>
: <math>d(\omega_F^0) = \omega_{\nabla F}^1</math>
: <math>d(\omega_F^1) = \omega_{rot F}^2</math>
: <math>d(\omega_F^2) = \omega_{div F}^3</math>
: <math>d(\omega_F^3) = \omega_{L2 F}^4</math>
* Дифференциальную форму можно рассматривать как поле [[полилинейная функция|полилинейных]] кососимметрических функций от <math>k</math> векторов.
* Внешнее дифференцирование линейно и удовлетворяет градуированному [[Правило Лейбница|правилу Лейбница]]:
*: <math>\ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)</math>
* Для любой формы справедливо <math>d(d\omega)=0</math>.
 
== Примеры ==
 
* С точки зрения тензорного анализа, 1-форма есть не что иное как ''ковекторное поле'', то есть 1 раз ковариантный [[тензор]], заданный в каждой точке <math>p</math> многообразия <math>M</math> и отображающий элементы [[Касательное пространство|касательного пространства]] <math>T_p (M)</math> в множество вещественных чисел <math>\R</math>:
*: <math>\omega(p) \colon T_p (M)\rightarrow \R</math>
* [[Форма объёма]] — пример <math>n</math>-формы на <math>n</math>-мерном многообразии.
* [[Симплектическая форма]] — замкнутая 2-форма <math>\omega</math> на <math>2n</math>-многообразии, такая что <math>\omega^n\not=0</math>.
 
== Применения ==
 
=== Векторный анализ ===
{{main|Векторный анализ}}
Через дифференциальные формы возможно представить основные операторы в векторном анализе
Пусть <math>I</math> — [[Метрический тензор#Изоморфизм между касательным и кокасательным пространством|канонический изоморфизм]] между [[Касательное пространство|касательным]] и [[Кокасательное пространство|кокасательным]] пространствами, и <math>\sigma</math> — канонический изоморфизм между 2-формами и векторными полями на <math>M</math>. Благодаря этому можно определить дифференциальные операции с векторными полями на <math>M</math>.
Тогда [[Ротор (математика)|ротор]] и [[Дивергенция|дивергенцию]] для полей на <math>\R^3</math> можно представить как
: <math>\operatorname{rot}\,v = \sigma\circ d\circ I (v)</math>
: <math>\operatorname{div}\,v = \sigma\circ d\circ \sigma (v)</math>
 
=== Дифференциальные формы в электродинамике ===
{{Основная статья|Дифференциальные формы в электромагнетизме}}
 
Максвелловская электродинамика весьма изящно формулируется на языке дифференциальных форм. Рассмотрим ''2-форму Фарадея'', соответствующую [[Тензор электромагнитного поля|тензору электромагнитного поля]]:
 
: <math>\textbf{F} = \frac{1}{2}F_{ab}\, {\mathrm d}x^a \wedge {\mathrm d}x^b.</math>
 
Эта форма является [[Форма кривизны|формой кривизны]] тривиального главного [[Расслоение|расслоения]] со структурной группой [[U(1)]], с помощью которого могут быть описаны классическая электродинамика и [[Калибровочная инвариантность|калибровочная теория]]. ''3-форма тока'' имеет вид
 
: <math>\textbf{J} = J^a \varepsilon_{abcd}\, {\mathrm d}x^b \wedge {\mathrm d}x^c \wedge {\mathrm d}x^d.</math>
 
В этих обозначениях [[уравнения Максвелла]] могут быть очень компактно записаны как
 
: <math>\mathrm{d}\, {\textbf{F}} = \textbf{0}</math>
: <math>\mathrm{d}\, {*\textbf{F}} = \textbf{J}</math>
 
где <math>*</math> — оператор [[Дуальность Ходжа|звезды Ходжа]]. Подобным образом может быть описана геометрия общей калибровочной теории.
 
2-форма <math>* \mathbf{F}</math> также называется ''2-формой Максвелла''.
 
=== Гамильтонова механика ===
{{main|Гамильтонова механика}}
С помощью дифференциальных форм можно сформулировать гамильтонову механику чисто геометрически. Рассмотрим [[симплектическое многообразие]] <math>M</math> с заданными на нём симплектической формой <math>\omega</math> и функцией <math>H</math>, называемой ''функцией Гамильтона''. <math>\omega</math> задаёт в каждой точке <math>X \in M</math> изоморфизм <math>I</math> [[Кокасательное пространство|кокасательного]] <math>T^{*}_{X}M</math> и [[Касательное пространство|касательного]] <math>T_{X}M</math> пространств по правилу
: <math>dH( \mathbf{u} ) = \omega ( I dH, \mathbf{u}), ~~ \forall\mathbf{u} \in T_{X}M</math>,
 
где <math>dH</math> — [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] функции <math>H</math>. Векторное поле <math>I dH</math> на многообразии называется ''гамильтоновым полем'', а соответствующий ему [[фазовый поток]] — ''гамильтоновым потоком''. Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектическую форму, а следовательно, сохраняет и любую её [[Внешнее произведение|внешнюю степень]]. Отсюда следует [[Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма|''теорема Лиувилля'']]. [[Скобка Пуассона]] функций <math>F</math> и <math>G</math> на <math>M</math> определяется по правилу
: <math>[F, G] = \omega( I dF, I dG)</math>
 
== Вариации и обобщения ==
Помимо вещественно- и комплекснозначных форм, часто также рассматриваются дифференциальные формы со значениями в [[векторное расслоение|векторных расслоениях]]. В этом случае в каждой точке задается полилинейная антисимметричная функция от <math>k</math> векторов из касательного расслоения, возвращающая вектор из слоя над этой точкой. Формально внешние ''k''-формы на <math>M</math> со значениями в векторном расслоении <math>\pi\colon E \to M</math> определяются как [[Сечение расслоения|сечения]] тензорного произведения расслоений
: <math>\left(\bigwedge^k T^*M\right) \otimes_{M} E</math>
 
Частный случай векторнозначных дифференциальных форм — [[Тангенциальнозначная форма|тангенциальнозначные формы]], в определении которых в качестве векторного расслоения берётся касательное расслоение <math>T M</math>.
 
== Литература ==
 
* {{книга
|автор = [[Арнольд, Владимир Игоревич|Арнольд В. И.]]
|заглавие = Математические методы классической механики
|издание = 5-е изд., стереотипное
|место = {{М.}}
|издательство = Едиториал УРСС
|год = 2003
|страниц = 416
|isbn = 5-354-00341-5
|тираж = 1500
}}
* {{книга
|автор = Годбийон К.
|заглавие = Дифференциальная геометрия и аналитическая механика
|место = {{М.}}
|издательство = Мир
|год = 1971
}}
* {{книга
|автор = Дубровин Б. А., [[Новиков, Сергей Петрович (математик)|Новиков С. П.]], [[Фоменко, Анатолий Тимофеевич|Фоменко А. Т.]]
|заглавие = Современная геометрия. Методы и приложения
|место = {{М.}}
|издательство = Наука
|год = 1971
}}
* {{книга
|автор = [[Картан, Анри|Картан А.]]
|заглавие = Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы
|место = {{М.}}
|издательство = Мир
|год = 1971
}}
* {{книга
|автор = [[Постников, Михаил Михайлович|Постников М. М.]]
|заглавие = Лекции по геометрии. Семестр III. Гладкие многообразия
|место = {{М.}}
|издательство = Наука
|год = 1987
}}
* {{книга
|автор = Булдырев В. С., [[Павлов, Борис Сергеевич|Павлов Б. С.]]
|заглавие = Линейная алгебра и функции многих переменных
|место = {{Л.}}
|издательство = Издательство Ленинградского университете
|год = 1985
}}
 
== См. также ==
 
* [[Внешняя алгебра]]
* [[Когомологии де Рама]]
* [[Теорема Стокса]]
* [[Дифференциальные формы в электродинамике]]
 
[[Категория:Дифференциальные формы]]
еренциальных форм оказывается удобен во многих разделах теоретической физики и математики, в частности, в теоретической механике, [[симплектическая геометрия|симплектической геометрии]], [[квантовая теория поля|квантовой теории поля]].
 
Пространство <math>k</math>-форм на многообразии <math>M</math> обычно обозначают <math>\Omega^k(M)</math>.
 
== Определения ==
 
=== Инвариантное ===
 
В дифференциальной геометрии, дифференциальная форма степени <math>k</math>, или просто '''<math>k</math>-форма''' — это гладкое [[сечение расслоения|сечение]] <math>\wedge^k T^* M</math>, то есть <math>k</math>-ой [[внешняя алгебра|внешней степени]] [[кокасательное расслоение|кокасательного расслоения]] многообразия. В частности,
* значение <math>k</math>-формы на наборе из <math>k</math> штук касательных векторных полей есть функция на многообразии.
* значение <math>k</math>-формы в точке <math>x</math> многообразия есть кососимметрический <math>k</math>-линейный функционал на <math>T_xM</math>.
 
=== Через локальные карты ===
 
'''<math>k</math>-формой''' на <math>\mathbb{R}^n</math> будем называть выражение следующего вида
: <math>\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}f_{i_1i_2\ldots i_k}(x^1,\ldots,x^n)\,dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math>
где <math>f_{i_1i_2\ldots i_k}</math> — гладкие функции, <math>dx^i</math> — [[Дифференциал (математика)|дифференциал]] <math>i</math>-ой координаты <math>x^i</math> (функция от вектора, возвращающая его координату с номером <math>i</math>&nbsp;), а <math>\wedge</math> — [[Внешняя алгебра|внешнее произведение]].
При смене координат это представление меняет форму.
 
На гладком многообразии, k-формы могут быть определены как формы на картах, которые согласованы на склейках (для точного определения согласованности см. ''[[многообразие]]'').
 
== Связанные определения ==
* Для <math>k</math>-формы <math>\omega</math>, её '''внешний дифференциал''' (также просто '''дифференциал''') это <math>(k+1)</math>-форма, '''в координатах''' имеющая вид <math>d\omega=\sum_{1\leqslant i_1<i_2<\ldots<i_k\leqslant n}\sum_{1\leqslant j\leqslant n}\frac{\partial f_{i_1i_2\ldots i_k}}{\partial x^j}(x^1,\dots,x^n)\,dx^j\wedge dx^{i_1}\wedge dx^{i_2}\wedge\ldots\wedge dx^{i_k}</math>
 
* для '''инвариантного определения дифференциала''' нужно определить дифференциал функций, то есть <math>0</math>-форм, затем дифференциал <math>1</math>-форм, после чего на произвольные формы дифференциал продолжается по <math>R</math>-линейности и [[Правило произведения| градуированному правилу Лейбница]]:
** <math>dF(v)=v(F)</math> — значение дифференциала функции на касательном векторном поле есть [[Производная по направлению|производная функции вдоль поля]].
** <math>d \omega (u,v)= u(\omega(v)) - v(\omega (u)) - [u,v]</math> — значение дифференциала <math>1</math>-формы на паре векторных полей есть разность производных значений формы на одном поле вдоль другого, подправленная на [[Скобка Ли#Алгебра Ли векторных полей|коммутатор]].
**<math>\ d (\omega^k \wedge\omega^p) = (d\omega^k) \wedge\omega^p + (-1)^{k}\omega^k \wedge(d \omega^p)</math>
* Дифференциальная форма называется '''замкнутой''', если её внешняя производная равна 0.
* ''k''-форма называется '''точной''', если её можно представить как дифференциал некоторой (''k''-1)-формы.
* Факторгруппа <math>H^k_{dR} = \bar\Omega_{k} / d\Omega_{k-1}</math> замкнутых ''k''-форм по точным ''k''-формам называется '''<math>k</math>-мерной группой когомологий де Рама'''. [[Когомологии де Рама#Теорема де Рама|Теорема де Рама]] утверждает, что она изоморфна ''k''-мерной группе [[Сингулярные когомологии|сингулярных когомологий]].
* '''Внутренней производной''' формы <math>\omega</math> по векторному полю <math>\mathbf{v}</math> называется форма