Ортогональные функции: различия между версиями

Нет описания правки
м (Перемещение 5 интервики-ссылок в Викиданные (d:Q2637908))
Две вещественные [[Функция (математика)|функции]] <math>\varphi_1(t)</math> и <math>\varphi_2(t)</math> на интервале <math>[a,b]</math> называются [[Ортогональность|ортогональными]], если
: <math>\int\limits_{a}^{b}\!\varphi_1(t)\varphi_2(t)\,dt = 0</math>
 
Две вещественныевообще говоря комплекснозначные [[Функция (математика)|функции]] <math>\varphi_1(t)</math> и <math>\varphi_2(t)</math>, напринадлежащие [[пространство Лебега|пространству Лебега]] интервале <math>[aL_2(E)</math>,b] где <math>E</math> - [[измеримое множество]] называются [[Ортогональность|ортогональными]], если
Для комплексных функций вводится [[комплексное сопряжение]] одной из функций под интегралом, для векторных — [[скалярное произведение]] функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.
: <math>\int\limits_{a}^{bE}\!\varphi_1(t)\overline{\varphi_2(t)}\,dt = 0</math>
 
Для комплексныхвекторных функций вводится [[комплексное сопряжение]] одной из функций под интегралом, для векторных — [[скалярное произведение]] функций под интегралом, а также интегрирование по отрезку заменяется на интегрирование по области соответствующей размерности.
 
 
Полезным обобщением понятия ортогональности является ортогональность с определённым весом. Ортогональны с весом <math>w</math> функции <math>f</math> и <math>g</math>, если
 
где <math>\langle f(x), g(x)\rangle</math> — скалярное произведение векторов <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math> — значений векторнозначных функций <math>f</math> и <math>g</math> в точке <math>x</math>, <math>x</math> — точка области <math>\Omega</math>, а <math>d\Omega</math> — элемент её объёма ([[Мера множества|меры]]). Эта формула записана наиболее общим способом по сравнению со всеми выше. В случае вещественных скалярных <math>f(x)</math>, <math>g(x)</math> скалярное произведение следует заменить на обычное; в случае комплексных скалярных <math>f(x)</math>, <math>g(x)</math>: <math>\langle f(x), g(x)\rangle = \bar f (x) g(x)</math>.
 
 
 
Требование принадлежности функций пространству <math>L_2(E)</math> связано с тем, что при <math>p \neq 2</math> пространства <math>L_p(E)</math> не образуют евклидова пространвства, а потому на них невозможно ввести скалярное произведение, а вместе с ним и ортогональность.
 
== Пример ==
Анонимный участник