Закон Ампера — Максвелла: различия между версиями

''S'' — любая поверхность, интеграл в правой части — сумма обычного тока (первый член) и тока смещения (второй член), введенного в уравнение Максвеллом. <math>\partial S</math> — край этой поверхности, представляющий собой замкнутую кривую, по которой взят контурный интеграл в левой части - циркуляция магнитного поля (вектора магнитной индукции) '''В'''; '''j''' — плотность тока, '''Е''' — напряженность электрического поля, <math>\partial/\partial t</math> — производная по времени.

 

 

<!------------------------------------------------------------------------------------->

Здесь мы покажем, что поправка к формуле Ампера '''необходима''' и что '''она может иметь вид''', предложенный Максвеллом, а также по возможности проследим, как она может быть точно построена из достаточно естественных и конструктивных соображений.

 

 

Исходить из сохранения заряда не требуется для того, чтобы показать внутреннюю противоречивость формулы Ампера вне магнитостатики. Однако сохранение заряда оказывается важным для конструктивного построения поправки Максвелла. В этом смысле можно заметить, что приводимое здесь построение служит иллюстрацией утверждения: если бы заряд не сохранялся, то и электродинамика в целом не могда бы быть такой, как она есть.</ref>

где <math>\mathbf j</math> - плотность тока, <math>\rho</math> - плотность заряда, <math>\nabla\cdot\mathbf j</math> - [[дивергенция]] плотности тока<math>\mathbf j</math>.

 

 

В её левой части стоит циркуляция по некоторому контуру, который является краем поверхности интегрирования в правой части. При этом утверждается, что формула верна всегда, то есть для любых поверхностей. Однако две разные поверхности (и вообще сколь угодно много разных поверхностей) могут иметь совпадающий край; иными словами, мы можем натянуть на один и тот же контур две разные поверхности (а если надо, то и больше).

Это и есть условие соленоидальности поля '''j''' (так как проинтегрировав дивергенцию '''j''' по любому объёму, получим<ref>По [[Теорема Остроградского — Гаусса|теореме Остроградского - Гаусса]]</ref> поток через его поверхность, и он будет равен нулю, так как дивергенция везде ноль.<ref>Это рассуждение можно обратить, т.е. показать, что если бы заряд не сохранялся в магнитостатике, т.е. если бы <math> \nabla\cdot\mathbf j</math> могло отличаться от нуля, не нарушая условий магнитостатической ситуации, то теорема Ампера не была бы верна (формула была бы внутренне противоречива) в магнитостатике (что означает, конечно, что магнитостатика в этом воображаемом случае была бы совсем другой, и даже трудно представить, как она могла бы быть тогда сформулирована в виде теории поля; хотя, конечно, если для магнитостатики ограничиться просто законом Био-Савара и силой Ампера, никакого напряжения воображения не потребовалось бы и чтобы представить магнитостатику с незамкнутыми токами).</ref>

 

 

Действительно, теперь, вообще говоря, <math>\frac{\partial \rho}{\partial t} \neq 0,</math> а следовательно и <math> \nabla\cdot\mathbf j \neq 0.</math>

Таким образом мы получаем результат, что первоначальная формула Ампера, содержащая в правой части только ток, внутренне противоречива (по причинам, разобранным выше, а именно, если <math> \nabla\cdot\mathbf j \neq 0</math>, то найдется объём, интеграл по которому от такой дивергенции не ноль, и следовательно не ноль ток из этой поверхности<ref>Это утверждение и так очевидно, т.к. сводится к тому, что из замкнутой поверхности может вытекать (переменный) ток, или втекать в нее. Однако нам полезно связать это утверждение с уравнением непрерывности прямо ввиду последующего изложения.</ref>, а значит можно найти две поверхности, натянутые на один и тот же контур, через которые течет разный ток, а значит, если первоначальная формула Ампера верна, мы получим два разных взаимоисключающих значения циркуляции по одному и тому же контуру, '''то есть противоречие'''.

 

 

Исходя из того, что мы хотим оставить общую структуру формулы Ампера, наиболее естественным путем её исправления было бы попытаться восстановить соленоидальность поля в правой части, а поскольку поле '''j''' в общем случае соленоидальность теряет, то естественно было бы посмотреть, какой оно требует поправки для восстановления соленоидальности (после чего формула станет внутренне непротиворечивой и в общем случае).

Недостающая для полной компенсации рассогласования часть поправочного члена называется (по аналогии с током смещения диэлектрика) - током смещения вакуума.

 

 

===== Симметрия уравнений электродинамики =====

 

Система уравнений Максвелла<ref>Здесь записана в системе единиц ''c''=1, подчеркивающей симметричность этой системы; однако и использование других единиц не могло бы полностью ее скрыть.</ref>:

\nabla\times\mathbf E =

-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}</math>

\nabla\times\mathbf B =

j + \frac{\partial\mathbf E}{\partial t}</math>

выглядит несомненно более симметричной<ref>

Еще более явно это для системы уравнений без зарядов:

\nabla\times\mathbf E =

-\frac{\partial\mathbf B}{\partial t}</math>

\nabla\times\mathbf B =

\frac{\partial\mathbf E}{\partial t}</math>

<references/>

 

[[Категория:Электродинамика]]

[[Категория:Законы электромагнетизма|Максвелла уравнения]]