Гармоническая функция: различия между версиями

Функция, гармоническая в области, бесконечно [[Дифференцируемость|дифференцируема]] в ней.

 

Если функция <math>U(M)=U(x_1,...x_k)</math>, гармоническая в к-мерном шаре <math>Q_r</math> радиуса <math>R</math> с центром в некоторой точке <math>M_0</math>, неотрицательна в этом шаре, то для ее значений в точках <math>M</math> внутри рассматриваемого шара справедливы неравенства: <math>{{R^{k-2}}{\frac{R-r}{(R+r)^{k-1}}}U(M_0)}\le{U(M)}\le{R^{k-2}\frac{R+r}{(R-r)^{k-1}}U(M_0)}</math>, где <math>r=\rho(M_0, M)<R</math><ref>А.Ф. Тиман, В.Н. Трофимов Введение в теорию гармонических функций. М.: Наука, 1968</ref>.