Википедия

Раскрытие неопределённостей: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
(Показать все непатрулированные изменения)
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Addbot (обсуждение | вклад)
535 049 правок
м Интервики (всего 10) перенесены на Викиданные, d:q115089
Нет описания правки
Строка 2:
{| class="standard"
|-
| <math>(\infty-\infty)</math>
| &nbsp;&nbsp;<math>\left (\frac{\infty}{\infty} \right )</math>&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;<math>\left (\frac{0}{0} \right )</math>&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;<math>\left (~0^0 \right )</math>&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;<math>\left (1^\infty \right )</math>&nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp;<math>\left (\infty^0 \right )</math>&nbsp;&nbsp;
| <math>(0\cdot\infty)</math>
|} (Здесь <math> ~0</math> - бесконечно малая величина, а <math>\infty</math> - бесконечно большая величина)
по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.
Строка 16:
 
Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в [[ряд Тейлора]] в окрестности [[Предельная точка|предельной точки]].
Для раскрытия неопределённостей видов <math>\left ( ~0^0\right )</math>, <math>\left (1^\infty \right )</math>, <math>\left (\infty^0 \right )</math> пользуются следующим приёмом: находят [[Предел функции|предел]] (натурального) [[логарифм]]а выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения [[Предел функции|предела]] от него берут [[Экспонента|экспоненту]].▼
 
: <math>~\inftyleft (~0^0 \right ) = \left (e^{0\cdot ln{\infty0}} \right ) = \left (e^{0\cdot\infty} \right )</math>▼
▲Для раскрытия неопределённостей видов <math>~0^0</math>, <math>1^\infty</math>, <math>\infty^0</math> пользуются следующим приёмом: находят [[Предел функции|предел]] (натурального) [[логарифм]]а выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения [[Предел функции|предела]] от него берут [[Экспонента|экспоненту]].
: <math>\left (~01^0\infty \right ) = \left (e^{0\infty\cdot ln{01}} \right ) = \left (e^{0\cdot\infty\cdot 0} \right )</math>
: <math>\left (~1^\infty^0 \right ) = \left (e^{\infty0\cdot ln{1\infty}} \right ) = \left (e^{0\cdot\infty} \cdotright 0})</math>
▲: <math>~\infty^0=e^{0\cdot ln{\infty}}=e^{0\cdot\infty}</math>
 
Для раскрытия неопределённостей типа <math>\frac{\infty}{\infty}</math> используется следующий алгоритм:
Строка 26 ⟶ 25 :
# Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.
 
Для раскрытия неопределённостей типа <math>\left (\frac{0}{0}\right )</math> существует следующий алгоритм:
# Разложение на множители числителя и знаменателя;
# Сокращение дроби.
 
Для раскрытия неопределённостей типа <math>(\infty-\infty)</math> иногда удобно применить следующее преобразование:
: Пусть <math>f(x) \xrightarrow{x\to a} \infty</math> и <math>g(x) \xrightarrow{x\to a} \infty</math>
: <math> \lim_{x \to a} [f(x)-g(x)]=[(\infty-\infty]) = \lim_{x \to a} \left ( \frac{1}{\frac{1}{f(x)}}- \frac{1}{\frac{1}{g(x)}}\right )=
\lim_{x \to a} \frac{\frac{1}{g(x)}-\frac{1}{f(x)}}{\frac{1}{g(x)}\cdot\frac{1}{f(x)}}=\left [( \frac{0}{0} \right ])</math>
 
== Пример ==
 
* '''«[[Замечательный предел]]»''' <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}</math> — пример неопределённости вида <math>\left (\frac{0/}{0}\right )</math>. По [[правило Лопиталя|правилу Лопиталя]]
*: <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1} = 1</math>
 
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Раскрытие_неопределённостей