Функция Мёбиуса: различия между версиями

28 байт добавлено ,  8 лет назад
Нет описания правки
'''Функция Мёбиуса''' <math>\mu(n)</math> — [[мультипликативностьМультипликативность|мультипликативная]] [[арифметическая функция]], применяемая в [[теорияТеория чисел|теории чисел]] и [[комбинаторикаКомбинаторика|комбинаторике]], названа в честь [[Германия|немецкого]] математика[[математик]]а [[Мёбиус, Август Фердинанд|Мёбиуса]], который впервые рассмотрел её в [[1831 год]]у.
 
== Определение ==
<math>\mu(n)</math> определена для всех [[натуральныеНатуральные числа|натуральных чисел]] <math>n</math> и принимает значения <math>{-1,\;0,\;1}</math> в зависимости от характера разложения числа <math>n</math> на простые сомножители:
 
* <math>\mu(n)=1</math>, если <math>n</math> свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение <math>n</math> на простые множители состоит из [[Чётные и нечётные числа|чётного]] числа сомножителей;
* <math>\mu(n)=-1</math>, если <math>n</math> свободно от квадратов и разложение <math>n</math> на простые множители состоит из [[Чётные и нечётные числа|нечётного]] числа сомножителей;
* <math>\mu(n)=0</math>, если <math>n</math> не свободно от квадратов.
 
По определению также полагают <math>\mu(1)=1</math>.
== Свойства и приложения ==
 
* Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых [[взаимноВзаимно простые числа|взаимно простых чисел]] <math>a</math> и <math>b</math> выполняется равенство <math>\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)</math>.
 
* Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа <math>n</math>, не равного единице, равна нулю
* <math>\sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln k}{k}=-1.</math>
 
* Функция Мёбиуса связана с [[функцияФункция Мертенса|функцией Мертенса]] отношением
 
: <math>M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).</math>
 
Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях [[дзетаДзета-функция Римана|дзета-функции Римана]], см. статью [[гипотеза Мертенса]].
 
== Обращение Мёбиуса ==
=== Первая формула обращения Мёбиуса ===
 
Для [[арифметическаяАрифметическая функция|арифметических функций]] <math>f</math> и <math>g</math>,
: <math>g(n)=\sum_{d\,\mid\, n}f(d)</math>
тогда и только тогда, когда
=== Вторая формула обращения Мёбиуса ===
 
Для вещественнозначных функций <math>f(x)</math> и <math>g(x)</math>, определенныхопределённых при <math>x\geqslant 1</math>,
: <math> g(x) = \sum_{n\leqslant x} f\left(\frac{x}{n}\right)</math>
тогда и только тогда, когда