Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

Соответственно, ''<math>m</math> раз контравариантным и <math>k</math> раз ковариантным тензором'' (тензором типа <math>T^m_k</math>) называется объект преобразующийся при смене базиса применением <math>m</math> раз "обратного" преобразования <math>\frac {\partial x'^i}{\partial x^j}</math> и <math>k</math> раз "прямого" преобразования <math>\frac {\partial x^j}{\partial x'^i}</math>.
 
Например, дважды контравариантный тензор <math>A^{ij}</math> и дважды ковариантный тензор <math>A_{ij}</math> преобразуются соответственно по следующим законам:
 
<math>A^{ij}=\frac {\partial x'^i}{\partial x'^q}\frac {\partial x'^j}{\partial x'^p}A^{pq}</math>, для контравариантного и <math>A_{ij}=\frac {\partial x'^q}{\partial x'^i}\frac {\partial x'^p}{\partial x'^j}A_{pq}</math>
 
А для 1 раз контравариантного и 1 раз ковариантного тензора преобразования имеют вид:
а 1 раз контравариантный и 1 раз ковариантный тензор преобразуется по закону:
 
<math>A^j_i=\frac {\partial x'^p}{\partial x'^i}\frac {\partial x'^j}{\partial x'^q}A^q_p</math>
 
== Алгебра и геометрия ==