Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

Сказанное про контрвариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами - [[тензор|тензоры]], частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.

 

 

Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве <math>V^*</math>, совокупность которых также образует линейное пространство <math>V^{**}</math>, которое является сопряженным к <math>V^*</math>. В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются также как базис пространства <math>V^*</math>, а значит противоположно базису основного пространства <math>V</math>. То есть они обладают свойством контрвариантности и называются ''<math>k</math> раз контравариантным тензором''. Их обозначают с верхними индексами. В частности дважды контравариантный тензор запишется как <math>A^{ij}</math>. Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм <math>V</math> и <math>V^{**}</math>, то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.