Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

Сказанное про контрвариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами - [[тензор|тензоры]], частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.
 
По аналогии с линейным функционалом рассмотрим функционал, ставящий в соответствие нескольким (<math>k</math>) векторам пространства <math>V</math> некоторое число, обладающий свойством ''линейности'' по каждому вектору. Это так называемые '''''[[полилинейная функция|полилинейные функции]]'''''. Можно показать, что все <math>k</math>-линейные функции образуют линейное пространство, в котором можно также ввести базис и представить произвольную <math>k</math>-линейную функцию в координатном виде. Можно также показать, что их координаты преобразуются как базис основного пространства (так же как и ковариантные векторы). Поэтому такие полилинейные функции называют <math>k</math> ''раз коваринтными тензорами''. Их записывают с нижними индексами. Например, дважды ковариантный тензор обозначается так <math>A_{ij}</math>.
 
Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве <math>V^*</math>, совокупность которых также образует линейное пространство <math>V^{**}</math>, которое является сопряженным к <math>V^*</math>. В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются также как базис пространства <math>V^*</math>, а значит противоположно базису основного пространства <math>V</math>. То есть они обладают свойством контрвариантности и называются ''<math>k</math> раз контравариантным тензором''. Их обозначают с верхними индексами. В частности дважды контравариантный тензор запишется как <math>A^{ij}</math>. Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм <math>V</math> и <math>V^{**}</math>, то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.