Ковариантность и контравариантность (математика): различия между версиями

Обобщая приведенные определения можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют ''m-раз контрвариантным и k-раз ковариантным'' - <math>T^m_k</math>. Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных - верхние. Например, тензор 1-раз контрвариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается <math>A^i_j</math>. Общее количество индексов <math>k+m</math> называется ''рангом'' или ''валентностью'' тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, <math>A^i_j=A(e^i,e_j)</math>.
 
Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется ''сверткой'' по этим индексам. Как уже было указано выше по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свертки тензора по одному индексу его ранг уменьшается на 2. Например, в такой записи отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид <math>y^i= A^i_jx^j</math>. Линейные операторы являются классическим примером тензора типа <math>T^1_1</math>.
 
При преобразовании тензора типа <math>T^m_k</math> при смене базиса m раз используется обратная матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор <math>A^i_j</math> типа <math>T^1_1</math> при смене координат преобразуется следующим образом: