Универсальное свойство: различия между версиями

Нет описания правки
м (+ {{нет категорий}})
Во многих областях [[математика|математики]] полезную конструкцию часто можно рассматривать как "«наиболее эффективное решение"» определенной проблемы. Определение '''универсального свойства''' использует язык [[теория категорий|теории категорий]], чтобы сделать это определение точным и изучать его теоретическими методами.
 
В этой статье даётся общее описание универсального свойства. Чтобы лучше понять эту концепцию, будет полезно сначала изучить несколько примеров, которых существует довольно много: [[Произведение (теория категорий)|прямое произведение]] и [[копроизведение]], [[свободная группа]], [[группа Гротендика]], [[компактификация Стоуна — Чеха]], [[тензорное произведение]], [[прямой предел]] и [[обратный предел]], ядро и коядро, [[декартов квадрат]], [[кодекартов квадрат]] и [[уравнитель (математика)|уравнитель]].
 
== Формальное определение ==
Пусть ''U'': ''D'' → ''C''  — [[функтор (математика)|функтор]] из категории ''D'' в категорию ''C'', а ''X''  — объект категории ''C''. Рассмотрим слежующие двойственные определения:
 
'''Начальный (отталкивающий) морфизм''' из ''X'' в ''U''  — это начальный объект в категории морфизмов из ''X'' в ''U''. Другими словами, это пара (''A'', φ), где ''A''  — это объект категории ''D'' и φ: ''X'' → ''U''(''A'')  — это морфизм в категории ''C'', такой что следующее '''начальное свойство''' выполняется:
* Для любого ''Y''  — объекта категории ''D'' и ''f'': ''X'' → ''U''(''Y'')  — морфизма в категории ''C'', существует единственный морфизм ''g'': ''A'' → ''Y'' такой, что следующая диаграмма [[коммутативная диаграмма|коммутативна]]:
[[FileФайл:UniversalProperty-03.png|center|An initial morphism from X to U]]
 
'''Терминальный (притягивающий) морфизм''' из ''U'' в ''X''  — это терминальный объект в категории морфизмов из ''U'' в ''X''. Другими словами, это пара (''A'', φ), где ''A''  — объект категории ''D'' и φ: ''U''(''A'') → ''X''  — морфизм в категории ''C'', такой что следующее '''терминальное свойство''' выполняется:
* Для любого ''Y''  — объекта категории ''D'' и ''f'': ''U''(''Y'') → ''X''  — морфизма категории ''C'', существует единственный морфизм ''g'': ''Y'' → ''A'', такой что следующая диаграмма коммутативна:
[[FileФайл:UniversalProperty-04.png|center|A terminal morphism from U to X]]
 
Термин '''универсальный морфизм''' означает "«начальный либо терминальный морфизм"», термин '''универсальное свойство''' означает "«начальное либо терминальное свойство"». В обоих определениях существование морфизма ''g'' интуитивно выражает тот факт, что (''A'', φ) "«достаточно общее"», тогда как его единственность гарантирует, что (''A'', φ) "«не чрезмерно общее"».
 
== Примеры ==
 
=== Существование и единственность ===
Определение некоего свойства не гарантирует существование объекта, ему удовлетворяющего. Если однако, такой (''A'', φ) существует, то он единственен. Точнее говоря, он единственен с точностью до единственного изоморфизма. Проверим это для случая начального морфизма: если (''A''′, φ′φ′) —другая такая пара, то существует единственный изоморфизм ''k'': ''A'' → ''A''′ такой что φ′φ′ = ''U''(''k'')φ. Это легко увидеть, заменив (''A''′, φ′φ′) на (''Y'', ''f'') из определения начального свойства.
 
=== Эквивалентные формулировки ===
Определение универсального морфизма может быть перефразировано множеством способов. Пусть ''U''  — функтор из ''D'' в ''C'', ''X''  — объект категории ''С''. Тогда следующие формулировки эквивалентны:
* (''A'', φ)  — начальный морфизм из ''X'' в ''U''
* (''A'', φ)  — начальный объект категории запятой (''X'' ↓ ''U'')
* (''A'', φ)  — представление функтора Hom<sub>''C''</sub>(''X'', ''U''&mdash;),
равно как и двойственные им формулировки.
 
 
== Примечания ==
{{примечания}}
<references/>
* [[Кон, Пол Мориц|Paul Cohn]], ''Universal Algebra'' (1981), D.Reidel Publishing, Holland. ISBN 90-277-1213-1.
* [[Маклейн, Саундерс|Mac Lane, Saunders]], ''Categories for the Working Mathematician'' 2nd ed. (1998), Graduate Texts in Mathematics 5. Springer. ISBN 0-387-98403-8.
* Jacobson. Basic Algebra II. Dover. 2009. ISBN 0-486-47187-X
 
[[:Категория:Теория категорий]]
[[:Категория:Математика]]
 
{{нет категорий}}