Универсальное свойство: различия между версиями

 
=== Связь с сопряженными функторами ===
Пусть (''A''<sub>1</sub>, φ<sub>1</sub>) - начальный морфизм из ''X''<sub>1</sub> в ''U'' и (''A''<sub>2</sub>, φ<sub>2</sub>) - начальный морфизм из ''X''<sub>2</sub> в ''U''. По начальному свойству любому морфизму ''h'': ''X''<sub>1</sub> → ''X''<sub>2</sub> соответствует единственный морфизм ''g'': ''A''<sub>1</sub> → ''A''<sub>2</sub>, такой что следующая диаграмма коммутативна:
{{в планах}}
[[File:UniversalProperty-05.png|center]]
 
Если каждый объект ''X''<sub>''i''</sub> категории ''C'' допускает начальный морфизм в ''U'', то соответствия <math>X_i \mapsto A_i</math> и <math>h \mapsto g</math> определяют функтор ''V'' из ''C'' в ''D''. А отображения φ<sub>''i''</sub> тогда определяют [[естественное преобразование]] из 1<sub>''C''</sub> (тождественный функтор ''C'') в ''UV''. Функторы (''V'', ''U'') образуют пару [[сопряженные функторы|сопряженных функторов]], причем ''V'' - левый сопряженный ''U'' и ''U'' - правый сопряженный ''V''. Аналогичные утверждения верны в двойственной ситуации терминальных морфизмов из ''U'', здесь (''U'', ''V'') будут парой сопряженных функторов, ''U'' - левый сопряженный, а ''V'' - правый.
 
В действительности все пары сопряженных функторов получаются из конструкций такого вида. Пусть ''F'': ''С'' → ''D'' и ''G'': ''D'' → ''C'' - пара сопряженнных функторов с единицей η и коединицей ε (см. статью [[сопряженные функторы]]). Тогда существуют универсальные морфизмы для каждого объекта категорий ''C'' и ''D'':
*Для каждого объекта ''X'' из ''C'', (''F''(''X''), η<sub>''X''</sub>) - начальный морфизм из ''X'' в ''G''. То есть для всех ''f'': ''X'' → ''G''(''Y'') существует единственный ''g'': ''F''(''X'') → ''Y'', для которого следующие диаграммы коммутируют.
*Для каждого объекта ''Y'' из''D'', (''G''(''Y''), ε<sub>''Y''</sub>) - терминальный морфизм из ''F'' в ''Y''. То есть для всех ''g'': ''F''(''X'') → ''Y'' существует единственный ''f'': ''X'' → ''G''(''Y''), для которого следующие диаграммы коммутируют.
[[File:AdjointFunctors-02.png|center|Universal properties of a pair of adjoint functors]]
 
Универсальные конструкции являются более общими, чем конструкции сопряженных функторов: универсальная конструкция похожа на задачу оптимизации, пара сопряжённых функторов появляется, только если эта задача имеет решение для ''всех'' объектов категории.
 
== История ==