Формула Брахмагупты: различия между версиями

[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 73:
 
* [[:en:David P. Robbins|Д. Роббинс]] доказал, что для любого вписанного многоугольника с <math>n</math> сторонами величина <math>(4S)^2</math> является корнем некоторого многочлена <math>P</math>, коэффициенты которого в свою очередь являются многочленами от длин сторон. Он нашёл эти многочлены для <math>n=5</math> и <math>n=6</math>. Другими авторами установлено, что многочлен <math>P</math> можно выбрать так, чтобы его старший коэффициент был равен единице, а степень <math>N=N(n)</math> была равна <math>\Delta_k</math>, если <math>n=2k+1</math> и <math>2\Delta_k</math>, если <math>n=2k+2</math>. Здесь
*: <math>\Delta_k=\frac{2k+1}{2}C_\binom{2k}^{k} - 2^{2k-1}= \sum_{j=0}^{k-1}(k-j)\binom{2k+1}{j},</math>
:где <math>\tbinom{k}{j}=\tfrac{k!}{j!(k-j)!}</math> — [[Биномиальный коэффициент|биномиальные коэффициенты]]. Для многоугольников с небольшим числом сторон имеем <math>\Delta_1=1</math>, <math>\Delta_2=7</math>, <math>\Delta_3=38</math>, <math>\Delta_4=187, \dots</math>, и <math>N(4)=2</math>, <math>N(5)=7</math>, <math>N(6)=14</math>, <math>N(7)=38, \dots</math>