Википедия

Расслоённое произведение: различия между версиями

Интерактивная навигация по истории
[отпатрулированная версия][непроверенная версия]
← Предыдущая правкаСледующая правка →
Содержимое удалено Содержимое добавлено
ВизуальныйВики-текст
Addbot (обсуждение | вклад)
535 049 правок
м Перемещение 6 интервики на Викиданные, d:q1397439
Нет описания правки
Метка: добавление ссылки
Строка 1:
В [[теория категорий|теории категорий]], '''Декартовдекартов квадрат''' [[морфизм]]ов <math>f\colon X\to Z</math> и <math>g\colon Y\to Z</math> — это [[Предел (теория категорий)|предел]] [[диаграмма (теория категорий)|диаграммы]], состоящей из двух морфизмов: <math>X\to Z \leftarrow Y</math>,. тоДекартов естьквадрат такойчасто объектобозначают <math> P</math> вместе= сX морфизмами\times_Z <math>p_1Y.\, p_2</math>, для которого диаграмма.▼
== Определение ==
▲'''Декартов квадрат''' [[морфизм]]ов <math>f\colon X\to Z</math> и <math>g\colon Y\to Z</math> — это [[Предел (теория категорий)|предел]] диаграммы <math>X\to Z \leftarrow Y</math>, то есть такой объект <math>P</math> вместе с морфизмами <math>p_1, p_2</math>, для которого диаграмма
 
== Универсальное свойство ==
[[Image:CategoricalPullback-03.png|center]]▼
 
Более явно, декартов квадрат двух морфизмов ''f'' и ''g'' — это объект <math>P</math> вместе с морфизмами <math>p_1, p_2</math>, для которого следующая диаграмма коммутативна:
коммутативна, причём из любого другого объекта <math>Q</math>, делающего диаграмму коммутативной, существует единственный морфизм <math>u\colon Q \to P</math>, для которого▼
 
[[ImageФайл:CategoricalPullback-0203.png|center]]
 
▲коммутативнаБолее того, причёмдекартов квадрат должен быть универсальным объектом с таким свойством: из любого другого объекта <math>Q</math>, делающегозамыкающего диаграмму до коммутативной, существует единственный морфизм <math>u\colon Q \to P</math>, для которого
== Литература ==▼
* ''Р. Голдблатт'' Топосы. Категорный анализ логики, — {{М}}: Мир, 1983. — 487 с.▼
* ''С. Маклейн'' Категории для работающего математика, — {{М}}: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.▼
 
▲[[ImageФайл:CategoricalPullback-0302.png|center]]
{{Cat-theory-stub}}
 
Как и другие универсальные конструкции, декартов квадрат не обязательно существует, но если существует, то определен с точностью до изоморфизма.
 
== Примеры ==
В [[категория множеств|категории множеств]] декартов квадрат ''f'' и ''g'' — это множество
 
: <math>X\times_Z Y = \{(x, y) \in X \times Y| f(x) = g(y)\},\,</math>
 
вместе с естественными проекциями на компоненты.
 
Аналогичным образом определяется декартов квадрат в категории коммутативных [[кольцо (алгебра)|колец]].
 
Также декартов квадрат в '''Set''' можно описывать двумя асимметричными способами:
 
: <math>X\times_Z Y</math>
: <math>
\cong
\coprod_{x\in X} g^{-1}[\{f(x)\}]</math>
: <math>
\cong
\coprod_{y\in Y} f^{-1}[\{g(y)\}]
</math>
 
где <math>\coprod</math> — [[дизъюнктное объединение]] множеств.
 
== См. также ==
* [[кодифференциал (дифференциальная геометрия)|Кодекартов квадрат в дифференциальной геометрии]]
 
▲== Литература ==
▲* ''Р. Голдблатт'' Топосы. Категорный анализ логики,  — {{М}}: Мир, 1983.  — 487 с.
▲* ''С. Маклейн'' Категории для работающего математика,  — {{М}}: ФИЗМАТЛИТ, 2004.  — 352 с.  — ISBN 5-9221-0400-4.
*Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). [http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/acc.pdf ''Abstract and Concrete Categories''] (4.2MB PDF). Originally publ. John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (now free on-line edition).
 
[[Категория:Теория категорий]]
Источник — https://ru.wikipedia.org/wiki/Расслоённое_произведение