Декартово замкнутая категория: различия между версиями

Категория ''C'' называется '''декартово замкнутой'''<ref>''С. Маклейн'' Категории для работающего математика, — {{М}}: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.</ref>, если она удовлетворяет трём условиям:

'''Теория* [[Категория множеств''']] естественным образом представляет собой декартово замкнутую категорию, так как каждая функция в ней является множеством, и, следовательно, объектом. Также в ней существуют произведения ([[Декартово произведение множеств|декартовы произведения]]) и терминальные объекты - [[синглетон (математика)|синглетоны]].

* '''[[Теория топосов|Топос]]''', является декартово замкнутой категорией по определению.

* '''[[Алгебра Гейтинга]]''' также является стандартным примером декартово замкнутой категории. Так как '''[[Булева алгебра]]''' является её частным случаем она тоже всегда будет декартово замкнутой.

В дкартово замкнутой категории "функция двух переменных" (морфизм ''f'':''X''×''Y'' → ''Z'') всегда может быть представлена как "функция одной переменной" (морфизм λ''f'':''X'' → ''Z''^''Y''). В программировании эта операция известна как [[каррирование]]; это позволяет интерпретировать [[просто типизированное лямбда-исчисление]] в любой декартово замкнутой категории. Декартово замкнутые категории служат категорной моделью для [[Лямбда-исчисление с типами|типизированного <math>\lambda</math>-исчислении]] и [[комбинаторная логика|комбинаторной логики]].