Теорема Адамара о степенном ряде: различия между версиями

'''Теорема Адамара о степенном ряде''' - даёт оценку [[Круг сходимости|радиуса сходимости]] [[Степенной ряд|степенных рядов]] для некоторых случаев.

<math>(\alpha)</math> Пусть <math>\rho = \varlimsup \sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}</math> и <math>|x-x_{0}| < \frac{1}{\rho}</math>. Тогда <math>\varlimsup (\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}|x-x_{0}|) < 1</math>, <math>\varlimsup \sqrt[\nu]{|a_{\nu}{|x-x_{0}|}^{\nu}} < 1</math> и можно найти такое число <math>q < 1</math>, что почти для всех <math>\nu</math> <math>\varlimsup \sqrt{[\nu]{|a_{\nu}|{|x-x_{0}|}^{\nu}}} < q</math>. Но из этого неравенства следует, что геометрическая прогрессия <math>\sum_{\nu = 0}^{\infty}</math> является сходящейся мажорантой ряда <math>\sum_{\nu = 0}^{\infty}|a_{\nu}{(x-x_{0})}^{\nu}|</math>, т.е. что <math>|x-x_{0}| < R</math>. Если, наоборот, точка <math>x</math> удовлетворяет условию <math>|x-x_{0}| > \frac{1}{\rho}</math>, то <math>\varlimsup(\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|}|x-x_{0}|)>1</math>, <math>\varlimsup(\sqrt[\nu]{|a_{\nu}|{|x-x_{0}|}^{\nu})}>1</math>, и потому для бесконечного множества номеров <math>\nu</math> <math>\sqrt[\nu]{|a_{\nu}(x-x_{0}^{\nu}|} \geqslant 1</math>, <math>|a_{\nu}{(x-x_{0})}^{\nu}| \geqslant 1</math>. Следовательно, ряд <math>\sum_{\nu = 0}^{\infty}|a_{\nu}(x-x_{0})^{\nu}|</math> расходится, потому что его члены не стремятся к нулю.