Факторкольцо: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Danneks (обсуждение | вклад) →См. также: какое ещё факторполе? |
Danneks (обсуждение | вклад) переписал определение, а то люди жалуются что ничего не понятно + добавил примеры |
||
Строка 1:
'''Факторкольцо́''' — [[Общая алгебра|общеалгебраическая]] конструкция, позволяющая распространить на случай [[кольцо (математика)|колец]] конструкцию [[факторгруппа|факторгруппы]]. Любое кольцо является группой по сложению, поэтому можно рассмотреть её подгруппу и взять факторгруппу. Однако для того, чтобы на этой факторгруппе можно было корректно определить умножение, необходимо, чтобы исходная подгруппа была замкнута относительно умножения на произвольные элементы кольца, то есть являлась [[идеал (алгебра)|идеалом]].
== Определение ==
Пусть <math>I</math> — [[двусторонний идеал]] [[кольцо (математика)|кольца]] <math>R</math>. Определим на <math>R</math> [[отношение эквивалентности]]:
: <math>a\sim b</math> тогда и только тогда, когда <math>a-b\in I.</math>
[[Класс эквивалентности]] элемента <math>a</math> обозначается как <math>[a]</math> или <math>a+I</math> и называется классом смежности по модулю идеала. '''Факторкольцо''' <math>R/I</math> — это множество классов смежности элементов <math>R</math> по модулю <math>I</math>, на котором следующим образом определены операции сложения и умножения:
Легко проверить, что эти операции определены корректно, то есть не зависят от выбора конкретного представителя <math>a</math> класса смежности <math>a+I</math>. Например, корректность умножения проверяется следующим образом: пусть <math>a_2=a+i_1,b_2=b+i_2,\; i_{1,2}\in I</math>. Тогда <math>a_2b_2=(a+i_1)(b+i_2)=ab+i_1b+ai_2+i_1i_2\in ab+I</math>. В последнем шаге доказательства использовалась замкнутость идеала относительно умножения на элемент кольца (как слева, так и справа) и замкнутость относительно сложения.
▲: <math>\mathrm{(a+J)+(b+J)=(a+b)+J}</math>
▲: <math>\mathrm{(a+J)(b+J)=ab+J}</math>
== Связанные теоремы ==
* ''Теорема о гомоморфизме колец'':
: Если <math>f</math> — [[сюръективность|сюръективный]] [[гомоморфизм]] кольца <math>\mathrm{K}</math> на кольцо <math>\mathrm{R}</math>, то [[ядро гомоморфизма|ядро]] <math>\ker\,f</math> является [[идеал]]ом кольца <math>\mathrm{K}</math>, причём кольцо <math>\mathrm{R}</math> [[изоморфизм|изоморфно]] факторкольцу <math>\mathrm{K}/\ker\,f</math>.
: Обратно: если <math>\mathrm{J}</math> — идеал кольца <math>\mathrm{K}</math>, то [[отображение]] <math>f: \mathrm{K}\to\mathrm{K/J}</math>, определяемое условием <math>f(a) = a+\mathrm{J}, \forall a \in \mathrm{K}</math> является гомоморфизмом кольца <math>\mathrm{J}</math> на <math>\mathrm{K/J}</math> с ядром <math>\mathrm{J}</math>.
: Теорема аналогична ''теореме [[факторгруппа#Свойства|о гомоморфизме групп]]''.
* Идеал <math>\mathrm{J}</math> кольца <math>\mathrm{K}</math> является [[простой идеал|простым]] ([[максимальный идеал|максимальным]]) в том и только в том случае, когда факторкольцо <math>\mathrm{K/J}</math> является [[целостное кольцо|целостным]] кольцом ([[Поле (алгебра)|полем]]).
* Согласно [[китайская теорема об остатках|китайской теореме об остатках]], если <math>I_1,I_2,\ldots I_n</math> — попарно взаимно простые идеалы (то есть [[сумма идеалов|сумма]] любых двух из них равна всему кольцу), то факторкольцо по их [[произведение идеалов|произведению]] (или, эквивалентно, по их [[пересечение идеалов|пересечению]]) ихоморфно [[прямое произведение|произведению]] факторов вида <math>R/(I_i)</math>.
== Примеры ==
* Пусть <math>\mathbb Z</math> — кольцо [[целое число|целых чисел]], <math>n\mathbb Z</math> — идеал, состоящий из чисел, кратных <math>n</math>. Тогда <math>\mathbb Z/n\mathbb Z</math> — [[кольцо вычетов]] по модулю <math>n</math>.
* Рассмотрим [[кольцо многочленов]] с действительными коэффициентами <math>\mathbb R[x]</math> и идеал, состоящий из многочленов, кратных <math>x^2+1</math>. Факторкольцо <math>\mathbb R[x]/(x^2+1)</math> изоморфно [[поле (алгебра)|полю]] [[комплексное число|комплексных чисел]]: класс <math>[x]</math> соответствует мнимой единице. Действительно, в факторкольце элементы <math>x^2+1</math> и <math>0</math> эквивалентны, то есть <math>x^2=-1</math>.
* Обобщая предыдущий пример, факторкольца часто используют для построения [[расширение поля|расширений полей]]. Пусть <math>K</math> — некоторое поле и <math>f(x)</math> — [[неприводимый многочлен]] в <math>K[x]</math>. Тогда <math>K[x]/(f(x))</math> является полем, и это поле содержит по крайней мере один корень многочлена <math>f(x)</math> — класс смежности элемента <math>x</math>.
* Важный пример использования предыдущей конструкции — построение [[конечное поле|конечных полей]]. Рассмотрим конечное поле <math>\mathbb Z/2\mathbb Z</math> из двух элементов и в этом контексте обычно обозначается как <math>\mathbb F_2</math>. Многочлен <math>x^2+x+1</math> неприводим над этим полем (так как не имеет корней), следовательно, факторкольцо <math>\mathbb F_2[x]/(x^2+x+1)</math> является полем. Это поле состоит из четырёх элементов: 0, 1, ''x'' и ''x''+1. Все конечные поля можно построить аналогичным образом.
== См. также ==
Строка 39 ⟶ 47 :
}}
* {{книга|автор=М. Атья, И. Макдональд|заглавие=Введение в коммутативную алгебру|место={{М}}|издательство=Мир|год=1972|страниц=160}}
* ''Лидл Р., Нидеррайтер Г.'' Конечные поля (в двух томах). — {{М}}: Мир, 1988. — 430
[[Категория:Общая алгебра]]
| |||