Частичный предел последовательности: различия между версиями

Докажем это утверждение для верхнего предела. По [[теорема Больцано — Вейерштрасса|теореме Больцано — Вейерштрасса]] множество частичных пределов ограниченной последовательности непусто. Пусть <math>s</math> — [[грань числового множества|верхняя грань]] множества <math>A</math> частичных пределов. Тогда заметим, что <math>\forall\varepsilon>0(s-\varepsilon\neq\sup(A))\Rightarrow(\exists a_1\in A:s-\varepsilon<a_1\leqslant s)</math>, а это означает, что в любой окрестности точки <math>a_1</math> находится бесконечно много членов последовательности. Поскольку утверждение верно для любого <math>\varepsilon</math>, мы можем сказать, что в любой окрестности точки <math>s</math> содержится бесконечно много членов последовательности (так как в любой окрестности мы можем найти точку <math>a_1</math>). Значит, <math>s</math> по определению является предельной точкой последовательности, а стало быть, и её частичным пределом, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается случай нижнего предела.

 

 

[[Категория:Ряды и последовательности]]