Эндоморфизм Фробениуса: различия между версиями

переписал статью в соответствии с интервиками, раздел про схемы напишу позже
м (Перемещение 12 интервики-ссылок в Викиданные (d:Q769124))
(переписал статью в соответствии с интервиками, раздел про схемы напишу позже)
'''Эндоморфизм Фробениуса''' — [[эндоморфизм]] [[Коммутативное кольцо|коммутативного кольца]] простой [[характеристика кольца|характеристики]] ''p'', задаётся формулой <math>x\mapsto x^p</math>. В некоторых случаях, например, в случае [[конечное поле|конечного поля]], эндоморфизм Фробениуса является [[автоморфизм]]ом, однако в общем случае это не так.
'''Автоморфизм Фробениуса''' — [[автоморфизм]] [[Конечное поле|конечного поля]] <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> над полем <math>\mathbb{F}_{q}</math>, где ''q'' - [[степень простого числа]]. Автоморфизм Фробениуса задается формулой <math>x\mapsto x^q</math>. Группа автоморфизмов <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> над <math>\mathbb{F}_{q}</math> носит также название ''группы Галуа'' поля <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> над <math>\mathbb{F}_{q}</math>. Группа Галуа <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> над <math>\mathbb{F}_{q}</math> является [[циклическая группа|циклической]], а значит поле <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> является [[Теория Галуа|циклическим расширением]] поля <math>\mathbb{F}_{q}</math>.
 
== Определение и базовые свойства ==
== Свойства ==
Пусть ''R'' — коммутативное кольцо простой [[характеристика кольца|характеристики]] ''p'' (в частности, таким является любое [[целостное кольцо]] ненулевой характеристики). Эндоморфизм Фробениуса кольца ''R'' определяется формулой <math>F(x)=x^p</math>. Эндоморфизм Фробениуса действительно является [[гомоморфизм колец|гомоморфизмом колец]], так как <math>(xy)^p=x^py^p, (x+y)^p=x^p+y^p</math> (для того, чтобы доказать последнее тождество, достаточно расписать левую часть по формуле [[бином Ньютона|бинома Ньютона]] и заметить, что все биномиальные коэффициенты, кроме первого и последнего, делятся на ''p'').
 
Если <math>\varphi:R\to S</math> — произвольный гомоморфизм колец простой характеристики ''p'', то <math>\varphi (x^p)=(\varphi (x))^p</math>, то есть : <math>\varphi \circ F_R = F_S\circ \varphi.</math>
* Автоморфизм Фробениуса <math>\sigma</math> является [[автоморфизм]]ом: <math>\sigma(a+b)=\sigma(a)+\sigma(b), \sigma(ab)=\sigma(a)\sigma(b)</math>.
 
* Автоморфизмы <math>\sigma^j</math> переводят любой элемент <math>\alpha</math> в ему [[сопряженный корень|сопряженные]]
Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является [[естественное преобразование|естественным преобразованием]] тождественного [[функтор (математика)|функтора]] (на категории коммутативных колец характеристики ''p'') в себя.
* Автоморфизм Фробениуса оставляет на месте элементы основного поля <math>\mathbb{F}_q</math>.
 
* Если <math>f</math> - многочлен степени ''m'' над <math>\mathbb{F}_q</math>, то он имеет корень <math>\alpha</math> в <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> и все его ''m'' корней <math>\alpha_j</math> получаются применением ''m'' раз автоморфизма Фробениуса к <math>\alpha</math>: <math>\alpha_j=\sigma_j(\alpha)</math>.
Если кольцо ''R'' не содержит нетривиальных [[нильпотент]]ов, то эндоморфизм Фробениуса [[инъективность|инъективен]] (так как его [[ядро (алгебра)|ядро]] нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если <math>x</math> — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени <math>n</math>, то <math>(x^{n-1})^p=0</math>. Эндоморфизм Фробениуса не обязательно [[соръективность|сюръективен]], даже если ''R'' является полем. Например, пусть <math>R=\mathbb F_p(t)</math> — поле рациональных функций с коэффициентами в <math>\mathbb F_p</math>, тогда функция <math>t</math> не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.
* Поскольку <math>(\forall f\in \mathbb{F}_{q^m}) f^{q^m}=f</math>, <math>\sigma^m=1</math>, а все автоморфизмы <math>\sigma,\sigma^2,...\sigma^m</math> различны. Также, автоморфизмы <math>\sigma,\sigma^2,...\sigma^m</math> исчерпывают все возможные автоморфизмы <math>\mathbb{F}_{q^m}</math> над <math>\mathbb{F}_{q}</math>, так что [[группа Галуа]] <math>Gal(\mathbb{F}_{q^m},\mathbb{F}_{q})</math> является циклической с образующим элементом <math>\sigma_1</math>.
 
Поле ''K'' называется [[совершенное поле|совершенным]], если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являюся совершенными.
 
== Неподвижные точки ==
Рассмотрим конечное поле <math>\mathbb F_p</math>. Согласно [[малая теорема Ферма|малой теореме Ферма]], все элементы этого поля удвлетворяют уравнению <math>x^p=x</math>. Уравнение ''p''-й степени не может иметь более ''p'' корней, следовательно, в любом [[расширение поля|расширении]] поля <math>\mathbb F_p</math> неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса — это в точности элементы поля <math>\mathbb F_p</math>. Аналогичное утверждение верно для целостных колец характеристики ''p''.
 
Сходным свойствам удовлетворяют и степени эндоморфизма Фробениуса. Если <math>\mathbb F_{p^k}</math> — конечное поле, все его элементы удовлетворяют уравнению <math>x^{p^k}=x</math> и в любом расширении этого поля элементы исходного поля являются неподвижными точками ''k''-й степени эндоморфизма Фробениуса, то есть неподвижными точками <math>x\mapsto x^{p^k}</math>.
 
== Порождающий элемент группы Галуа ==
[[Группа Галуа]] [[конечное расширение|конечного расширения]] конечного поля является [[циклическая группа|циклической]] и порождается степенью эндоморфизма Фробениуса. Рассмотрим сначала случай, когда основное поле является [[простое поле|простым]]. Пусть <math>\mathbb F_q</math> — конечное поле, где <math>q=p^n</math>. Эндоморфизм Фробениуса <math>F</math> сохраняет элементы простого поля <math>\mathbb F_p</math>, поэтому он является элементом группы Галуа расширения <math>\mathbb F_q\supset \mathbb F_p</math>. Оказывается, что эта группа является циклической и порождается <math>F</math>. Порядок этой группы равен <math>n</math>, так как эндоморфизм <math>x\mapsto x^{q}</math> действует на <math>\mathbb F_q</math> тождественно, а меньшие степени не могут действовать тождественно.
 
Рассмотрим теперь расширение <math>\mathbb F_{q^k}\supset \mathbb F_q</math>. Здесь основное поле фиксируется ''n''-й степенью эндоморфизма Фробениуса, группа Галуа расширения порождается <math>F^n</math> и имеет порядок <math>k</math>.
 
== Эндоморфизм Фробениуса для схем ==
{{в планах}}
 
== Литература ==
|тираж =
}}
* ''Hazewinkel, Michiel'', ed. (2001), [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Frobenius_automorphism Frobenius automorphism], Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4
* ''Hazewinkel, Michiel'', ed. (2001), [http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Frobenius_endomorphism Frobenius endomorphism], Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4
 
== См. также ==
* [[Конечное поле]]
* [[Первообразный корень из единицы]]
* [[Группа Галуа]]
* [[Совершенное поле]]
* [[Первообразный корень (абстрактная алгебра)|Первообразный корень]]
* [[Многочлен над конечным полем]]
 
[[Категория:Общая алгебра]]
[[Категория:Теория полей]]
[[Категория:АлгебраТеория колец]]
 
{{Link GA|fr}}