Эндоморфизм Фробениуса: различия между версиями

Нет изменений в размере ,  7 лет назад
(переписал статью в соответствии с интервиками, раздел про схемы напишу позже)
Это значит, что эндоморфизм Фробениуса является [[естественное преобразование|естественным преобразованием]] тождественного [[функтор (математика)|функтора]] (на категории коммутативных колец характеристики ''p'') в себя.
 
Если кольцо ''R'' не содержит нетривиальных [[нильпотент]]ов, то эндоморфизм Фробениуса [[инъективность|инъективен]] (так как его [[ядро (алгебра)|ядро]] нулевое). Легко доказать, что верно и обратное: если <math>x</math> — нетривиальный нильпотент, обнуляющийся начиная со степени <math>n</math>, то <math>(x^{n-1})^p=0</math>. Эндоморфизм Фробениуса не обязательно [[соръективностьсюръективность|сюръективен]], даже если ''R'' является полем. Например, пусть <math>R=\mathbb F_p(t)</math> — поле рациональных функций с коэффициентами в <math>\mathbb F_p</math>, тогда функция <math>t</math> не лежит в образе эндоморфизма Фробениуса.
 
Поле ''K'' называется [[совершенное поле|совершенным]], если его характеристика равна нулю, либо характеристика положительна и эндоморфизм Фробениуса сюръективен (а следовательно, является автоморфизмом). В частности, все конечные поля являюся совершенными.