|
== Основные конструкции ==
* '''Главные идеалы.''' Если ''p'' принадлежит ''R'', a ''k'' любое целое число то <math>\{pr+kp:\,r\in R\ , k\in \mathbb{Z}\}</math> — будет минимальным правым идеалом, содержащим ''p'', а <math>\{rp+kp:\,r\in R\ , k\in \mathbb{Z}\}</math> — минимальным левым идеалом в ''R''. Они называются, соответственно, [[Главный идеал|главными]] правым и левым идеалом, порожденными ''p''. В коммутативном случае эти идеалы совпадают и обозначаются также ''(p)''. Если кольцо ''R'' содержит единичный элемент, то так как <math>kp=(k*1)p=p(k*1)</math>, главные идеалы, порождённые ''a'' можно записать <math>pR = \{pr:\,r\in R\}</math> и <math>Rp = \{rp:\,r\in R\}</math> соответственно. Всякий идеал, содержащий элемент ''p'', содержит и главный идеал, им порождённый.
* '''Идеал, порождённый множеством элементов.''' Пересечение произвольного семейства левых идеалов кольца ''R'' — левый идеал кольца ''R''. Поэтому для всякого подмножества ''M'' кольца ''R'' существует минимальный левый идеал, его содержащий, а именно — пересечение всех левых идеалов, содержащих множество ''M''. (То же верно для правых и двусторонних идеалов.) Для кольца ''R'' с единичным элементом минимальный левый идеал представляет собой множество конечных сумм вида <math>r_1m_1 + ... + r_nm_n</math>, минимальный правый идеал — множество конечных сумм вида <math>m_1r_1 + ... + m_nr_n</math>, минимальный двусторонний идеал — множество конечных сумм вида <math>r_1m_1r'_1 + ... + r_nm_nr'_n</math>, где ''m<sub>i</sub>'' — произвольные элементы множества ''M'', а ''r<sub>i</sub>,r'<sub>i</sub>'' — произвольные элементы кольца ''R''. Если кольцо не содержит единицы то минимальный левый идеал будет иметь вид <math>r_1m_1 + ... + r_nm_n + k_1m'_1 + ... + k_sm'_s</math>, минимальный правый <math>m_1r_1 + ... + m_nr_n+ k_1m'_1 + k_2m'_2 + ... + k_sm'_s</math>, минимальный двусторонний <math>r_1m_1r'_1 + ... + r_nm_nr'_n + k_1r''_1m'_1 + ... + k_sr''_sm'_s + k'_1m''_1r'''_1 + ... +k'_tm''_tr'''_t + k''_1m'''_1... + k''_wm''''_w</math>, где все <math>k_i (k'_i)</math> — любые целые числа. Эти идеалы называются порождёнными множеством ''M''. В коммутативном случае все они совпадают и обозначаются так: ''(M)''. Идеалы, порождённые конечным множеством, называются [[конечнопорождённый идеал|конечнопорождёнными]].
* '''Сумма идеалов.''' Если в кольце ''R'' задано произвольное семейство идеалов <math>I_{\alpha} </math>, их суммой <math>\sum I_{\alpha}</math> называется минимальный идеал, который их всех содержит. Он порождён объединением этих идеалов, и его элементами являются любые конечные суммы элементов из их объединения. (Само объединение идеалов обычно идеалом не является.) Относительно суммы все (левые, правые или двусторонние) идеалы кольца (или алгебры) образуют [[Решётка (теория множеств)|решётку]]. Каждый идеал является суммой главных идеалов. Часто, особенно в коммутативной алгебре, сумма называется наибольшим общим делителем).
* '''Пересечение идеалов''' (как [[пересечение множеств]]) всегда является идеалом. С другой стороны, '''объединение''' двух идеалов является идеалом только тогда, когда один из них — подмножество другого. Действительно, пусть <math>\mathfrak a</math> и <math>\mathfrak b</math> — два (левых) идеала, ни один из которых не явлется подмножеством другого, и <math>\mathfrak a\cup \mathfrak b</math> является левым идеалом. В этом случае, очевидно, <math>\mathfrak a\cup \mathfrak b</math> — наименьший идеал, содержащий <math>\mathfrak a</math> и <math>\mathfrak b</math>, то есть <math>\mathfrak a\cup \mathfrak b=\mathfrak a+ \mathfrak b</math>. Существует элемент <math>a\in \mathfrak a, a\notin \mathfrak b</math>. Тогда для любого <math>b\in \mathfrak b\; a+b\notin \mathfrak b</math>, так как в этом случае <math>a\in \mathfrak b</math>, следовательно, <math>a+b\in \mathfrak a</math> и <math>b\in \mathfrak a</math>, поэтому <math>\mathfrak b\in \mathfrak a</math> — противоречие.
* '''Произведение идеалов.''' Произведением идеалов ''I'' и ''J'' называется идеал ''IJ'', порождённый всеми произведениями ''ab'', где ''a'' — элемент идеала ''I'', ''b'' — элемент идеала ''J''. Бесконечное произведение идеалов неопределено.
* '''Частное идеалов.''' В коммутативном кольце для идеала ''I'', отличного от нуля, и идеала ''J'' определёно их частное — идеал <math>I^{-1}J = \{x\in R\colon\, \forall i\in I\, ix\in J \}</math>. Этот идеал называется '''аннулятором''' идеала ''I'' в случае, когда ''J=(0)'', .
* '''[[Радикал идеала]]''' идеала ''I'' — это множество <math>\sqrt{I}=\{f\in A:\,\exist n\in \mathbb{N} \,\,f^n\in{I}\}</math>. Оно тоже является идеалом кольца ''A'', если только кольцо ''A'' коммутативно. В случае, когда ''I=(0)'', этот идеал называется [[нильрадикал]]ом кольца ''A''. Его элементами являются все нильпотентные элементы кольца. Если коммутативное кольцо не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля, (имеет нулевой нильрадикал), — оно называется '''радикальным'''. Идеал ''I'' называется радикальным, если он совпадает со своим радикалом. В этом случае факторкольцо ''R/I'' не имеет нильпотентных элементов, кроме нуля.
* '''[[Индуктивный предел]]'''. Если задано семейство (цепочка) идеалов <math>\{I_{\alpha}\}_{\alpha \in A}</math>, занумерованное [[линейно упорядоченное множество|линейно упорядоченным множеством]] ''A'', так что для любых индексов <math>\alpha< \beta</math> из ''A'' идеал <math>I_{\alpha}</math> содержится в идеале <math>I_{\beta}</math>, тогда их объединение является идеалом — индуктивным пределом (супремумом) данной цепочки идеалов. Этот идеал также совпадает с суммой всех идеалов из цепочки. Тот факт, что индуктивный предел всегда существует, означает, что множество всех идеалов кольца ''R'' индуктивно упорядочено, и к нему применима [[Леммалемма Цорна]]. Она часто используется для построения максимальных идеалов с какими-то дополнительными свойствами (см. [[максимальный идеал]], [[простой идеал]], [[кольцо главных идеалов]]).
* '''Образ идеала при гомоморфизме.''' Обычно образ идеала при гомоморфизме НЕ является идеалом, однако если гомоморфизм сюръективен, то тогда является. В частности, так как гомоморфизм факторизации всегда сюръективен, при факторизации каждый идеал переходит в идеал.
* '''Прообраз идеала при гомоморфизме'''. Если <math>f:\, A\to B</math> — [[гомоморфизм]] колец, его '''ядро''' <math>\operatorname{Ker}f = \{a\in A:\, f(a)=0\}</math> является двусторонним идеалом. Более общо, если ''I'' — произвольный идеал в кольце ''B'', его полный [[прообраз]] <math>f^{-1}I = \{a\in A:\, f(a)\in I\}</math> является идеалом (левым, правым или двусторонним, в зависимости от того, каков идеал ''I'').
* '''Гомоморфизм факторизации по идеалу.''' Если ''I'' — двусторонний идеал в кольце ''R'', по нему можно определить [[отношение эквивалентности]] на ''R'' по правилу: ''x ~ y'' тогда и только тогда, когда разность ''x-y'' принадлежит ''I''. Проверяется, что если в сумме или произведении один из операндов заменить на эквивалентный, новый результат будет эквивалентен исходному. Таким образом операции сложения и умножения становятся определенными на множестве ''R/I'' классов эквивалентности, превращая его в кольцо (коммутативность и наличие единицы переносятся с кольца ''R'', если они есть). Одновременно с этим кольцом определён гомоморфизм факторизации (канонический гомоморфизм) <math>\pi:\,R\to R/I</math>, который каждому элементу ''a'' из ''R'' ставит в соответствие класс эквивалентности, в котором он содержится. Класс эквивалентности элемента ''a'' есть множество элементов вида ''a+i'' по всем ''i'' из идеала ''I'', поэтому он обозначается ''a + I'', но иногда используется и общее обозначение для класса эквивалентности ''[a]''. Поэтому <math>\pi(a) = [a] = a+I</math>. Кольцо ''R/I'' при этом называется '''факторкольцом''' кольца ''R'' по идеалу ''I''.
== История ==
|
