Линейный код: различия между версиями

22 байта добавлено ,  8 лет назад
 
== Линейные пространства ==
 
=== Порождающая матрица ===
Пусть [[вектор (математика)|векторы]]ы <math>\overrightarrow{x_1} = (x_{11},..,x_{1n}), \overrightarrow{x_2} = (x_{21},..,x_{2n}),.., \overrightarrow{x_k} = (x_{k1},..,x_{kn})</math> являются [[базис]]ом линейного пространства <math>C</math>. По определению [[базис]]а, любой вектор <math>\overrightarrow{v} \in C</math> можно представить в виде линейной комбинации базисных векторов:
<math>\overrightarrow{v} = {c_1}\overrightarrow{x_1} + {c_2}\overrightarrow{x_2} + ... + {c_k}\overrightarrow{x_k}</math>,
либо в [[матрица (математика)|матричной]] форме, как:
 
<math>\overrightarrow{v} = ({c_1},{c_2},..,{c_k})
\end{bmatrix}
</math>
называется порождающей [[матрица (математика)|матрицей]] [[линейное пространство|линейного пространства]].
 
Это соотношение устанавливает связь между [[векторВектор (математика)|векторами]]ами коэффициентов <math>\overrightarrow{c} = ({c_1},{c_2},..,{c_k})</math>
и векторами <math>\overrightarrow{v} \in C</math>. Перечисляя все [[вектор]]ывекторы коэффициентов <math>\overrightarrow{c} = ({c_1},{c_2},..,{c_k}) </math> можно получить все [[вектор]]ывекторы <math>\overrightarrow{v} \in C</math>. Иными словами, [[матрица]] <math>G</math> порождает [[линейное пространство]].
 
=== Проверочная матрица ===
Другим способом задания [[линейное пространство|линейных пространств]] является описание через проверочную матрицу.
 
Пусть <math>\mathbb{C}</math> — линейное k-мерное пространство над [[конечное поле|конечным полем]] <math>\mathbb{F}_q</math> и <math>\mathbb{W}</math> — [[ортогональное дополнение]] <math>\mathbb{C}</math>. Тогда по одной из теорем линейной алгебры, размерность <math>\mathbb{W}</math> равна <math>r = n - k</math>. Поэтому в <math>\mathbb{W}</math> существует r [[базис]]ных [[Вектор (математика)|векторов]]. Пусть <math>\overrightarrow{h}_1 = ({{h_1}_1},...,{{h_1}_n}), \overrightarrow{h}_2 = ({{h_2}_1},...,{{h_2}_n}),..., \overrightarrow{h}_r = ({{h_r}_1},...,{{h_r}_n})
</math> [[базис]] в <math>\mathbb{W}</math>.
 
Тогда любой [[Вектор (математика)|вектор]] <math>\overrightarrow{v} \in C</math> удовлетворяет следующей [[Система линейных алгебраических уравнений|системе линейных уравнений]]:
 
<math>
</math>
 
Или в [[матрица|матричной]] форме:
<math>\overrightarrow{v} H^T = 0</math>,
 
 
 
Приведенную [[Система линейных алгебраических уравнений|систему линейных уравнений]] следует рассматривать, как систему проверок для всех [[Вектор (алгебра)|векторов]] [[линейное пространство|линейного пространства]], поэтому матрица <math>\mathbb{H}</math> называется проверочной матрицей.
 
== Формальное определение ==