Теория представлений: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
EmausBot (обсуждение | вклад) м Перемещение 8 интервики-ссылок в Викиданные (d:Q13220368) |
Возвращение удалённого текста, идёт перевод статьи из английского раздела Википедии. |
||
Строка 1:
'''Теория представлений''' — раздел математики, изучающий абстрактные алгебраические структуры, представляя их элементы в виде линейных преобразований векторных пространств, и модули над этими структурами. В сущности, представление делает абстрактные алгебраические объекты более конкретными, описывая их элементы матрицами и алгебраическими преобразованиями в терминах матричного сложения и матричного умножения. Объектами, поддающимися такому описанию, являются группы, ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Наиболее известной (и исторически первой) является теория представлений групп, в которой элементы групп представлены обратимыми матрицами таким образом, что групповой операцией является матричное умножение.
Теория представлений является мощным инструментом, потому что она сводит задачи абстрактной алгебры к задачам линейной алгебры, предмет которой хорошо понятен. Кроме того, векторное пространство, соответствующее группе (к примеру), может быть представлено бесконечномерным, например, Гильбертовым пространством, и методы математического анализа могут быть применены в теории групп. Теория представлений также имеет важное значение для физики, так как она, например, описывает, как симметрическая группа физической системы влияет на решений уравнений, описывающих эту систему.
Поразительная особенность теории представлений — это её распространённость в математике. Первый аспект этого — разнообразные приложения теории представлений: в дополнение к своему влиянию на алгебру она освещает и значительно обобщает анализ Фурье с помощью гармонического анализа, она тесно связана с геометрией через теорию инвариантов и Эрлангенскую программу, оказывает большое влияние на теорию чисел через автоморфные формы и программу Лангландса. Вторым аспектом является разнообразие подходов к теории представлений. Те же объекты могут быть изучены с помощью методов алгебраической геометрии, теории модулей, аналитической теории чисел, дифференциальной геометрии, теории операторов, алгебраической комбинаторики и топологии.
Успех теории представлений привёл к многочисленным обобщениям. Одно из наиболее общих — это первая категория. Алгебраические объекты, к которым применяется теория представлений, могут быть рассмотрены как частные случаи категорий и представлений в виде функторов из категории объектов в категорию векторных пространств. Такое описание указывает на два очевидных обобщения: во-первых, алгебраические объекты могут быть заменены на более общие категории; во-вторых, целевая категория векторных пространств может быть заменена другими хорошо понятными категориями.
== Определения и концепция ==
Пусть ''V'' — векторное пространство над полем '''F'''. Для примера предположим, что ''V'' — это '''R'''<sup>''n''</sup> или '''C'''<sup>''n''</sup>, стандартное ''n''-мерное пространство векторов-столбцов над полем вещественных или комплексных чисел соответственно. В данном случае идея теории представлений заключается в том, чтобы конкретизировать абстрактную алгебру использованием матриц ''n'' × ''n'', элементами которых являются вещественные или комплексные числа.
Существует три вида алгебраических объектов, для которых это возможно: группы, ассоциативные алгебры и алгебры Ли.
* Множество всех обратимых матриц ''n'' × ''n'' является группой по умножению матриц, и теория представлений групп анализирует группу, описывая (представляя) её элементы терминами обратимых матриц.
* Сложение и умножение матриц делает множество всех матриц ''n'' × ''n'' ассоциативной алгеброй, и, следовательно, есть соответствующая теория представлений ассоциативных алгебр.
* Если мы заменим матричное умножение ''MN'' матричным коммутатором ''MN - NM'', то матрицы ''n'' × ''n'' заменят алгебру Ли, что приводит к созданию теории представлений алгебр Ли.
Это обобщается на любое поле ''F'' и любое векторное пространство ''V'' над '''F''' с заменой линейных отображений матрицами и заменой композиции отображений матричным умножением: получим группу GL(''V'','''F''') автоморфизмов над '''V''', ассоциативную алгебру End<sub>'''F'''</sub>(''V'') всех эндоморфизмов над '''V''' и соответствующую алгебру Ли '''gl'''(''V'','''F''').
=== Определение ===
Существует два способа рассказать о том, что такое представление. Первый использует идею действия группы, обобщая способ матрицы воздействовать на вектор-столбец с помощью матичного умножения. Представление группы ''G'' или алгебры ''A'' (ассоциативной или Ли) на векторном пространстве '''V''' — это отображение
:<math> \Phi\colon G\times V \to V \quad\text{or}\quad \Phi\colon A\times V \to V</math>
с двумя свойствами. Во-первых, для любых ''g'' из ''G'' (или ''a'' из ''A''), отображение
:<math> \begin{align}\varphi(g)\colon V& \to V\\
v & \mapsto \Phi(g, v)\end{align}</math>
линейно (над '''F''').
В зависимости от представленной группы различают разделы теории представлений:
| |||