Характеристика (алгебра): различия между версиями

'''Характеристика''' ([[Кольцо (математика)|кольца]] или [[Поле (алгебра)|поля]])  — числовая величина, используемая в [[Общая алгебра|общей алгебре]] для описания некоторых свойств этих

[[Алгебра (универсальная алгебра)|алгебраических структур]].

Пусть <math>R</math>  — произвольное [[Кольцо (математика)|кольцо]]. Если существует такое целое положительное число <math>n</math>, что для каждого элемента <math>r \in R</math> выполняется равенство

:<math>nrn\cdot r = \underbrace{r+\cdots+r}_n = 0</math>,

то наименьшее из таких чисел <math>n</math> называется ''характеристикой'' кольца <math>R</math> и обозначается символом <math>\mathop{\mathrm{char}} R</math>. При этом кольцо <math>R</math> называется кольцом ''положительной характеристики <math>\mathop{\mathrm{char}} R</math>''.

* Характеристика [[Конечное поле|конечного поля]] <math>\mathbb{F}_{p^m}</math>, где <math>p</math>  — простое число, <math>m</math>  — положительное целое, равна <math>p</math>.

* Если кольцо <math>R \setminus \{0\}</math> с единицей и без [[делитель нуля|делителей нуля]] имеет положительную характеристику <math>n</math>, то <math>n</math>она —является простоепростым числочислом. Следовательно, характеристика любого [[Поле (алгебра)|поля]] <math>K</math> есть либо <math>0</math>, либо простое число <math>p</math>. В первом случае поле <math>K</math> содержит в качестве [[подполе|подполя]] поле изоморфное полю рациональных чисел <math>\mathbb{Q}</math>, во втором случае поле <math>K</math> содержит в качестве подполя поле изоморфное [[кольцо вычетов|полю вычетов]] <math>\mathbb{F}_p</math>. В обоих случаях это подполе называется '''простым полем''' (содержащимся в <math>K</math>).

* ХарактеристикойХарактеристика конечноголюбого поля является — простое число или нуль. ЗаметимХарактеристика конечного поля всегда положительна, чтооднако из того, что характеристика поля конечнаположительна, не следует, что поле конечно. ПримерамиВ такихкачестве полейконтрпримеров являютсяможно привести поле рациональных функций надс коэффициентами в <math>\mathbb{F}_p</math> и [[алгебраическое замыкание]] поля <math>\mathbb{F}_p</math>.

* Если <math>R</math>  — [[коммутативное кольцо]] простой характеристики <math>p</math>, то <math>(a + b)^{p^n} = a^{p^n} + b^{p^n}</math> для всех <math>a, b \in R</math>, <math>n \in \mathbb{N}</math>. Для таких колец можно определить [[эндоморфизм Фробениуса]].

== Литература ==

* ''Лидл Р., Нидеррайтер Г.'' Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ.  — М.: Мир, 1988.

* ''Кострикин А. И.'' Введение в алгебру.  — М.: Наука, 1977.

* ''Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А.'' Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2.  — М.: Гелиос АРВ, 2003.