Наивная теория множеств: различия между версиями

перенесено из ст. Теория множеств, авторы указаны на странице истории изменений статьи
(секционность)
(перенесено из ст. Теория множеств, авторы указаны на странице истории изменений статьи)
[[Файл:Georg Cantor3.jpg|thumb|Георг Кантор в 1870 году]]
#REDIRECT [[Теория множеств#Наивная теория множеств]]
[[Файл:Diagonal argument.svg|thumb|Схема доказательства счётности множества рациональных чисел]]
[[Файл:Cantor-bernstein.svg|thumb|Схематическая идея доказательства теоремы Кантора — Бернштейна]]
'''Наи́вная тео́рия мно́жеств''' — раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств. Основным создателем теории множеств в ''наивном'' её варианте является немецкий математик [[Кантор, Георг|Георг Кантор]], к созданию абстракции точечного множества подтолкнули работы 1870—1872 годов по развитию теории [[Тригонометрический ряд|тригонометрических рядов]] (продолжавшие труды [[Риман, Георг Фридрих Бернхард|Римана]]), в которых вводит понятие [[Предельная точка|предельной точки]], близкое к современному{{Sfn|Медведев|1965|с=86—87}} и пытается с его помощью классифицировать «исключительные множества» (множества точек расходимости ряда, возможно бесконечные){{Sfn|Бурбаки|1963|c=40}}. Заинтересовавшись вопросами равномощности множеств, в [[1873 год в науке|1873 году]] Кантор обнаруживает [[Счётное множество|счётность]] множества [[Рациональное число|рациональных чисел]] и {{нп5|Первое доказательство несчётности множества вещественных чисел|решает отрицательно|en|Cantor's first uncountability proof}} вопрос о равномощности множеств [[Целое число|целых]] и [[Вещественное число|вещественных чисел]] (последний результат публикует в 1874 году по настоянию [[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасса]]{{Sfn|Медведев|1965|с=94—95}}{{Sfn|Кантор|1985|с=18—21|loc=2. Об одном свойстве совокупности всех алгебраических чисел. Оригинал: [http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/?PPN=GDZPPN002155583 Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen.] — Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 77 (1874), p. 258—262}}. В [[1877 год в науке|1877 году]] Кантор доказывает взаимно-однозначное соответствие между [[Вещественное число|<math>\mathbb R</math>]] и <math>\mathbb R^n</math> (для любого <math>n>0</math>). Первыми результатами Кантор делится в переписке с Дедекиндом и Вейерштрассом, которые отвечают благосклонной критикой и замечаниями к доказательствам, и начиная с [[1879 год в науке|1879 года]] вплоть до 1884 года публикует шесть статей в [[Mathematische Annalen]] с результатами исследований бесконечных точечных множеств{{Sfn|Кантор|1985|с=40—141|loc=5. О бесконечных линейных точечных многообразиях. Оригинал: Über unendliche, lineare Punktmannichfahltigkeiten. — Mathematische Annalen, Bd. 15 (1879), 17 (1880), 20 (1882), 21 (1883), 23 (1884)}}{{sfn|Бурбаки|1963|c=40—41}}.
 
В [[1877 год в науке|1877 году]] Дедекинд публикует статью «О числе классов идеалов конечного поля», в которой явно в символическом виде оперирует с множествами — [[Поле (алгебра)|полями]], [[Модуль над кольцом|модулями]], [[Идеал (алгебра)|идеалами]], [[Кольцо (алгебра)|кольцами]], и использует для них отношение включения (используя знаки «<» и «>»), операции объединения (со знаком «+») и пересечения (с инфиксом «−»), и, кроме того, фактически приходит к алгебре множеств, указывая на [[Принцип двойственности (теория множеств)|двойственность]] операций объединения и пересечения, в обозначениях Дедекинда:
: <math>(A+B)-(A+C) = A + (B - (A+C)</math>,
: <math>(A-B)+(A+C) = A - (B + (A-C)</math>,
в последующих своих работах многократно используя этот результат{{Sfn|Медведев|1965|с=103—105}}. В публикации [[1878 год в науке|1878 года]] о равномощности континуумов разного числа измерений, Кантор использует теоретико-множественные операции, ссылаясь на работу Дедекинда. Кроме того, в этой же работе впервые в явном виде введено понятие [[Мощность множества|мощности множества]], доказана счётность всякого бесконечного подмножества счётного множества, а конечные поля [[Алгебраическое число|алгебраических чисел]] предложены как примеры счётных множеств. Результат Кантора о равномощности континуумов разного числа измерений привлёк широкое внимание математиков, и уже в том же году последовало несколько работ ({{нп5|Люрот, Якоб|Люрот|de|Jacob Lüroth}}, {{нп5|Томе, Карл|Томе|de|Carl Johannes Thomae}}, {{нп5|Нетто, Эуген|Нетто|de|Eugen Netto}}) с неудачными попытками доказательства невозможности одновременной непрерывности и взаимной однозначности отображения континуумов различных размерностей{{Sfn|Медведев|1965|с=107—110}} (точное доказательство этого факта дал [[Брауэр, Лёйтзен Эгберт Ян|Брауэр]] в 1911 году).
 
В [[1880 год в науке|1880 году]] Кантор формулирует две ключевых идеи теории множеств — понятие о [[Пустое множество|пустом множестве]] и метод [[Трансфинитная индукция|трансфинитной индукции]]. Начиная с 1881 года методами Кантора начинают пользоваться другие математики: [[Вольтерра, Вито|Вольтерра]], [[Дюбуа-Реймон, Эмиль Генрих|Дюбуа-Реймон]], {{нп5|Бендиксон, Ивар|Бендиксон|se|Ivar Bendixson}}, {{нп5|Гарнак, Аксель|Гарнак|de|Axel Harnack (Mathematiker)}}, в основном в связи с вопросами об [[интеграл|интегрируемости]] функций{{Sfn|Медведев|1965|с=113—117}}. В работе [[1883 год в науке|1883 года]] Кантор даёт исторически первое формальное определение континуума, используя введённые им понятия [[Совершенное множество|совершенного множества]] и [[Плотность множества|плотности множества]] (отличающиеся от современных, используемых в [[Общая топология|общей топологии]], но принципиально сходных с ними), а также стоит классический пример [[Нигде не плотное множество|нигде не плотного]] совершенного множества (известный как [[канторово множество]]){{Sfn|Медведев|1965|с=126—131}}, а также в явном виде формулирует [[Континуум-гипотеза|континуум-гипотезу]] (предположение об отсутствии промежуточных мощностей между счётным множеством и континуумом, её недоказуемость в рамках [[ZFC]] показана [[Коэн, Пол Джозеф|Коэном]] в [[1963 год в науке|1963 году]]).
 
С 1885—1895 годы работы по созданию наивной теории множеств получили развитие прежде всего в трудах Дедекинда (Кантор в течение этих 10 лет публикует лишь одну небольшую работу из-за болезни). Так, в книге «Что такое числа и для чего они служат?»<ref>{{книга
|автор = Dedekind, R.
|заглавие = Was sind und was sollen die Zahlen?
|оригинал =
|ссылка = http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?pn=1&url=%2Fmpiwg%2Fonline%2Fpermanent%2Feinstein_exhibition%2Fsources%2F8GPV80UY%2Fpageimg&viewMode=images&tocMode=thumbs&tocPN=1&searchPN=1&mode=imagepath&characterNormalization=reg&queryPageSize=10
|викитека =
|место = Braunschweig
|издательство = Drud und Berlag von Friedrich Bieweg
|год = 1893
|allpages = 60
|тираж =
}}</ref> (где также впервые построена аксиоматизация арифметики, известная как [[арифметика Пеано]]) систематически изложены полученные к тому времени результаты теории множеств в наибольшей общности — для множеств произвольной природы (не обязательно числовых), бесконечное множество определено как взаимнооднозначное с частью себя, впервые сформулирована [[теорема Кантора — Бернштейна]]<ref>Доказана независимо [[Шрёдер, Эрнст|Эрнстом Шрёдером]] и {{Не переведено 2|Бернштейн, Феликс|Феликсом Бернштейном|de|Felix Bernstein}} в 1897 году</ref>, изложена алгебра множеств и установлены свойства теоретико-множественных операций{{Sfn|Медведев|1965|с=144—157|loc=14. «Что такое числа и для чего они служат?» Р. Дедекинда}}. [[Шрёдер, Эрнст|Шрёдер]] в [[1895 год в науке|1895 году]] обращает внимание на совпадение алгебры множеств и [[Логика высказываний|исчисления высказываний]], тем самым устанавливая глубокую связь между [[Математическая логика|математической логикой]] и теорией множеств.
 
В 1895—1897 годы Кантор публикует цикл из двух работ, в целом завершающий создание наивной теории множеств{{Sfn|Кантор|1985|с=173—245|loc=10. К обоснованию учения о трансфинитных множествах. Оригинал: Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre. — Mathematische Annalen, Bd. 46 (1895) p. 481—512; Bd. 49 (1897), p. 207—246}}{{Sfn|Медведев|1965|с=171—178|loc=17. Новый взлёт Кантора}}.
 
С начала 1880-х годов, прежде всего, после публикации идей о трансфинитной индукции, теоретико-множественный подход встретил острое неприятие многими крупными математиками того времени, основными оппонентами в то время были [[Герман Шварц]] и, в наибольшей степени, [[Кронекер, Леопольд|Леопольд Кронекер]], полагавший, что математическими объектами могут считаться лишь натуральные числа и то, что к ним непосредственно сводится (известна его фраза о том, что <cite>«бог создал натуральные числа, а всё прочее — дело рук человеческих»</cite>). Серьёзная дискуссия развернулась и в среде теологов и философов относительно теории множеств, в основном критически относившихся к идеям об актуальной бесконечности и количественных различиях в этом понятии{{Sfn|Медведев|1965|с=133—137}}. Тем не менее, к концу 1890-х годов теория множеств стала общепризнанной, во многом этому способствовали доклады [[Адамар, Жак|Адамара]] и [[Гурвиц, Адольф|Гурвица]] на [[Международный конгресс математиков#Первый конгресс|Первом международном конгрессе математиков]] в Цюрихе ([[1897 год в науке|1897]]), в которых были показаны примеры успешного использования теории множеств в [[Математический анализ|анализе]], а также широкое применение теоретико-множественного инструментария уже имевшим значительное влияние в математическом сообществе [[Гильберт, Давид|Гильбертом]]{{Sfn|Бурбаки|1964|с=44,49|loc=''«Никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором»'' — говорит Гильберт в «Основаниях геометрии», изданных в 1899 году}}.
 
== Примечания ==
{{примечания|2}}
 
== Литература ==
* {{книга
|автор = [[Николя Бурбаки|Н. Бурбаки]]
|часть = Основания математики. Логика. Теория множеств
|ссылка часть =
|заглавие = Очерки по истории математики
|оригинал =
|ссылка =
|викитека =
|ответственный = [[Башмакова, Изабелла Григорьевна|И. Г. Башмакова]] (перевод с французского)
|издание =
|место = М
|издательство = Издательство иностранной литературы
|год = 1963
|страницы = 37—53
|страниц = 292
|серия = Элементы математики
|тираж =
|ref = Бурбаки
}}
* {{книга
|автор = Г. Кантор
|заглавие = Труды по теории множеств
|оригинал =
|ссылка =
|викитека =
|ответственный =
|место = М.
|издательство = Наука
|год = 1985
|страниц = 430
|серия = Классики науки
|isbn =
|тираж = 3450
|ref = Кантор
}}</ref>.
* {{статья
|автор = [[Коэн, Пол Джозеф|П. Дж. Коэн]]
|заглавие = Об основаниях теории множеств
|ссылка = http://www.mathnet.ru/links/1ade91ff5fb820b9ec5be2544b38e762/rm4418.pdf
|оригинал = P. J. Соhen, Comments on the foundations of set theory, Proc. Sym. Pure Math. '''13''':1 (1971), 9–15.
|язык = ru
|ответственный = [[Манин, Юрий Иванович|Ю. И. Манин]] (перевод)
|издание = [[Успехи математических наук]]
|тип =
|место = М.
|издательство =
|год = 1974
|выпуск = 5 (179)
|том = XXIX
|номер =
|страницы = 169—176
|issn = 0042-1316
|ref = Коэн
|archiveurl =
|archivedate =
}}
* {{книга|автор=[[Куратовский, Казимир|К. Куратовский]], [[Мостовский, Анджей|А. Мостовский]]|заглавие=Теория множеств|ответственный=Перевод с английского М. И. Кратко под редакцией А. Д. Тайманова|место=М.|издательство=Мир|год=1970|страниц=416|ref=Куратовский, Мостовский}}
* {{книга|автор= [[Медведев, Фёдор Андреевич|Ф. А. Медведев]] |заглавие= Развитие теории множеств в XIX веке |ссылка= |викитека= |издание= |место= М. |издательство= Наука |год= 1965 |страниц=232 |тираж=2500|ref=Медведев}}
* {{книга|автор=[[Френкель, Адольф|А. Френкель]], И. Бар-Хиллел|заглавие=Основания теории множеств|ответственный=Перевод с английского Ю. А. Гастева под редакцией [[Есенин-Вольпин, Александр Сергеевич|А. С. Есенина-Вольпина]]|место=М.|издательство=Мир|год=1966|страниц=556|ref=Френкель}}
 
{{Разделы математики}}
 
[[Категория:История математики]]
[[Категория:Теория множеств]]
[[Категория:Перенаправления, вместо которых желательно создать статьи]]
 
[[en:Naive set theory]]