Векторное расслоение: различия между версиями
[непроверенная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Addbot (обсуждение | вклад) м Перемещение 15 интервики на Викиданные, d:q658429 |
Danneks (обсуждение | вклад) так кгораздо лучше смотрится, и уж во всяком случае, избражение не должно быть отдельным пунктом |
||
Строка 1:
'''Векторным расслоением''' называется определённая геометрическая конструкция, соответствующая семейству [[векторное пространство|векторных пространств]], параметризованных другим пространством <math>X</math> (например, <math>X</math> может быть [[топологическое пространство|топологическим пространством]], [[многообразие
каждой точке <math>x</math> пространства <math>X</math> сопоставляется векторное пространство <math>V_x</math> так, что их объединение образует пространство такого же типа, как и <math>X</math> (топологическое пространство, многообразие или алгебраическую структуру и
Векторное расслоение является особым типом [[локально тривиальное расслоение|локально тривиальных расслоений]], которые в свою очередь являются особым типом [[расслоение|расслоений]].
Строка 10:
== Примеры ==
* Простейший пример
* Более сложный пример
Касательные расслоения в общем случае не тривиальны.
== Определения
Векторное расслоение
== Связанные определения ==
Строка 26:
'''[[Морфизм]]''' из векторного расслоения <math>\pi_1\colon E_1 \to X_1</math> в векторное расслоение <math>\pi_2\colon E_2 \to X_2</math> задается парой непрерывных отображений <math>f\colon E_1 \to E_2</math> и <math>g\colon X_1 \to X_2</math>, таких что
[[Файл:BundleMorphism-01.png|center]]
* <math>g \circ \pi_1 = \pi_2 \circ f</math>
* для любого <math>x\in X_1</math>, отображение <math>\pi_1^{-1}(\{x\})\to \pi_2^{-1}(\{g(x)\}),</math> индуцированное <math>f,</math>
Заметим, что <math>g</math> определяется <math>f</math> (так как <math>\pi_1</math>
Класс всех векторных расслоений вместе с морфизмами расслоений образует [[категория (математика)|категорию]]. Ограничиваясь векторными расслоениями, являющимися гладкими многообразиями, и гладкими морфизмами расслоений, мы получим категорию ''гладких векторных расслоений''. Морфизмы векторных расслоений
Гомоморфизм расслоений из <math>E_1</math> в <math>E_2</math>, вместе с обратным гомоморфизмом, называется ''изоморфизмом (векторных) расслоений''. В таком случае расслоения <math>E_1</math> и <math>E_2</math> называют ''изоморфными''. Изоморфизм векторного расслоения (ранга <math>k</math>) <math>E</math> над <math>X</math> на тривиальное расслоение (ранга <math>k</math> над <math>X</math>) называется ''тривиализацией'' <math>E</math>, при этом <math>E</math> называют ''тривиальным'' (или ''тривиализуемым''). Из определения векторного расслоения видно, что любое векторное расслоение ''локально тривиально''.
Строка 41:
Большинство операций над векторными пространствами могут быть продолжены на векторные расслоения, выполняясь ''поточечно''.
Например, если <math>E</math>
Существует много функториальных операций, выполняемых над парами векторных пространств (над одним полем). Они напрямую продолжаются на пары векторных расслоений <math>E, F</math> на <math>X</math> (над заданным полем). Вот несколько примеров.
* '''[[Сумма Уитни]]''', или '''расслоение прямой суммы'''
* '''Расслоение [[тензорное произведение|тензорного произведения]]''' <math> E\otimes F</math> определяется аналогично, используя поточечные тензорные произведения векторных пространств.
* '''Расслоение гомоморфизмов''' ('''hom-bundle''') <math>\operatorname{Hom}\,(E,F)</math>
== См. также ==
Строка 64:
|страниц = 208
}}
* ''Jurgen Jost.'' Riemannian Geometry and Geometric Analysis
* ''[[:en:Ralph Abraham|Ralph Abraham]], Jerrold E. Marsden.'' Foundations of Mechanics,
[[Категория:Расслоения]]
|