Алгебраическая теория чисел: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Bezik (обсуждение | вклад) секционное перенаправление на предмет статьи из must-have-10k |
Maqivi (обсуждение | вклад) перенесено из ст. Теория чисел, авторы указаны на странице истории изменений статьи |
||
Строка 1:
'''Алгебраическая теория чисел''' — раздел теории чисел, в задачу которого входит изучение свойств целых чисел полей <math>K</math> алгебраических чисел конечной степени над полем рациональных чисел.
В алгебраической теории чисел понятие числа расширяется, в качестве алгебраических чисел рассматривают [[Корень многочлена|корни многочленов]] с рациональными коэффициентами. При этом аналогом целых чисел выступают [[целое алгебраическое число|целые алгебраические числа]], то есть корни [[унитарный многочлен|унитарных многочленов]] с целыми коэффициентами. В отличие от целых чисел в кольце целых алгебраических чисел не обязательно выполняется свойство [[Факториальное кольцо|факториальности]], то есть единственности разложения на простые множители.
[[Категория:Теория чисел]]▼
Теория алгебраических чисел обязана своим появлением попыткам доказать теорему Ферма. Куммеру принадлежит равенство
: <math>x^n=z^n-y^n=\prod^{n}_{i=1}(z-a_i y)</math>, где <math>a_i</math> — корни степени <math>n</math> из единицы.
Таким образом Куммер определил новые целые числа вида <math>z+a_i y</math>. Позднее Лиувилль показал, что если алгебраическое число является корнем уравнения степени <math>n</math>, то к нему нельзя подойти ближе чем на <math>Q^{-n}</math>, приближаясь дробями вида <math>P/Q</math>, где <math>P</math> и <math>Q</math> — целые взаимно простые числа<ref name="bse">[http://dic.academic.ru/dic.nsf/bse/150398/Чисел Чисел теория] // [[Большая советская энциклопедия]]</ref>.
После определения алгебраических и трансцендентных чисел в алгебраической теории чисел выделилось направление, которое занимается доказательством трансцендентности конкретных чисел, и направление, которое занимается алгебраическими числами и изучает степень их приближения рациональными и алгебраическими<ref name="bse"/>.
Алгебраическая теория чисел включает в себя такие разделы, как [[теория дивизоров|теорию дивизоров]], [[теория Галуа|теорию Галуа]], теорию полей классов, [[дзета-функция|дзета-]] и [[L-функция Дирихле|''L''-функции]] Дирихле, [[когомология|когомологии групп]] и многое другое.
Одним из основных приёмов является вложение поля алгебраических чисел в своё пополнение по какой-то из метрик — [[аксиома Архимеда|архимедовой]] (например, в поле вещественных или комплексных чисел) или неархимедовой (например, в поле [[p-адическое число|''p''-адических чисел]]).
== Примечания ==
{{примечания}}
== Литература ==
* [http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/119/ Алгебраическая теория чисел] // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия. И. М. Виноградов. 1977—1985.
▲[[Категория:Теория чисел]]
| |||