Постулат Бертрана: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Stannic (обсуждение | вклад) категория |
Urod (обсуждение | вклад) Нет описания правки |
||
Строка 39:
(Интересно, что для доказательства теоремы о том, что простых чисел «не очень мало», нам приходится сначала доказать лемму, гласящую, что простых чисел «не очень много».)
Заметим — и это главная идея доказательства леммы — что для любого целого неотрицательного '''m''', биноминальный коэффициент <math> {2m+1 \choose m} </math> делится на все простые числа в интервале [m+2, 2m+1]. В самом деле, <math> {2m+1 \choose m} = \frac {(2m+1)!} {m!(m+1)!} </math>, a любое простое число в указанном интервале делит числитель этой дроби и не делит её знаменатель.
::<math> {2m+1 \choose m} \ge \prod_{p\in\Bbb{P};\, m+2 < p \le 2m+1} p</math>
Беря логарифм от обеих частей неравенства, получаем
Строка 103:
:<math>p^{R(p,n)} = \exp \left ( R(p,n) \ln p \right ) \le \exp \left ( \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor \ln p \right ) \le 2n </math>
Это была оценка для любых ''p''. Но гораздо лучшую оценку можно получить для <math> \sqrt {2n} < p \le 2n </math>. Для таких ''p'', количество слагаемых <math> \left \lfloor \frac {\ln(2n)} {\ln(p)} \right \rfloor </math> равно 1, то есть в нашей
:<math> R(p,n) = \left \lfloor \frac {2n} {p} \right \rfloor - 2\left \lfloor \frac {n} {p} \right \rfloor </math>
Если это слагаемое равно 1, то <math> p^{R(p,n)} = p </math> . А если оно равно 0, то <math>p^{R(p,n)} = 1 </math> .
Строка 118:
=== Перемножение всех <math>p^{R(p,n)}</math> ===
Теперь оценим произведение <math>p^{R(p,n)}</math> по всем простым делителям ''p'' числа <math> {2n \choose n} </math> . Для делителей, не больших <math> \sqrt{2n} </math>, произведение не превышает <math> {(2n)} ^ {\sqrt{2n}} </math> . А для простых делителей, больших <math> \sqrt{2n} </math>, оно не превышает <math> \prod_{p \in \mathbb{P};\, p
Поскольку <math> {2n \choose n} </math> равен произведению <math> p^{R(p,n)} </math> по всем простым ''p'', мы получаем:
| |||