Связное пространство: различия между версиями

Добавление эквивалентных определений, потыреных из английской версии
(→‎Свойства: Уточнена предыдущая правка, уточнение из английской версии данной статьи.)
(Добавление эквивалентных определений, потыреных из английской версии)
[[Файл:Connected and disconnected spaces.svg|thumb|250px|<span style="color:green;background-color:lightgrey;">Множество ''A''</span> связно, а <span style="color:purple;background-color:lightgrey;">множество ''B''</span> несвязно.]]
'''Связное пространство''' — [[топологическое пространство]], которое невозможно разбить на два непустых непересекающихся [[открытое множество|открытых]] подмножества.
 
== Определение ==
 
Топологическое пространство называется ''связным'', если его нельзя разбить на два непустых непересекающихся [[Открытое множество|открытых]] подмножества. Пустое пространство со своей единственной топологией ([[пустое множество]] является открытым) удовлетворяет определению связного пространство, однако не всеми авторами считается таковым.
 
Подмножество топологического пространства называется ''связным'', если оно вместе со своей [[Индуцированная топология|индуцированной топологией]] образует связное пространство.
 
=== Эквивалентные определения ===
 
Пусть ''X'' — топологическое пространство. Тогда следующие условия эквивалентны:
#''X'' связно.
#''X'' нельзя разбить на два непустых непересекающихся [[Замкнутое множество|замкнутых]] подмножества.
#Единственные подмножества ''X'', являющиеся одновременно открытыми и замкнутыми, — пустое множество <math>\varnothing</math> и всё пространство ''X''.
#Единственные подмножества с пустой [[Граница (топология)|границей]] — пустое множество <math>\varnothing</math> и всё пространство ''X''.
#''X'' не может быть представлен в виде объединения двух непустых множеств, каждое из которых не пересекается с замыканием другого.
#Единственной непрерывной функцией из ''X'' в двухточечное множество (с дискретной топологией) является константа.
 
== Связанные определения ==