Открыть главное меню

Изменения

→‎Матрица линейного оператора: перенос материала из статьи Матрица (математика) про матрицу линейного оператора; старый текст скрыт
 
==Матрица линейного оператора==
<!-- Пусть линейный оператор <math>A</math> действует в сепарабельном гильбертовом пространстве. Каждый элемент пространства может быть представлен в координатах в некотором ортонормированном базисе {<math>e_n</math>} как <math>x=\sum_{k} \alpha_k e_k</math>, причем из ортнонормированности базиса следует, что <math>\alpha_k=(x,e_k)</math>. Тогда вектор <math>y=Ax</math> можно разложить в том же базисе с коэффициентами <math>\beta_k=(Ax,e_k)=\sum_{i} (Ae_i,e_k)\alpha_i=\sum_{i} a_{ij} \alpha_i</math>, где <math>a_{ij}=(Ae_i,e_k)</math>. Таким образом, в координатном представлении <math>\beta=A \alpha</math>, где <math>\alpha</math> - координатное представление вектора <math>x</math>, а <math>\beta</math>-координатное представление вектора <math>y</math>, соответственно <math>A=</math> {<math>a_{ij}</math>}-матрица оператора в данном базисе.
 
Таким образом, каждому линейному оператору гильбертова пространства соответствует некоторая матрица в данном базисе.
-->
'''Матрица линейного оператора''' — матрица, выражающая [[линейный оператор]] в некотором [[базис]]е. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.
 
Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на [[Вектор (математика)|вектор]] равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.
 
Выберем базис <math>\mathbf{e}_k</math>. Пусть <math>\mathbf{x}</math> — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:
: <math>\mathbf{x} = x^k\mathbf{e}_k</math>,
 
где <math>x^k</math> — координаты вектора <math>\mathbf{x}</math> в выбранном базисе.
 
Здесь и далее предполагается [[Соглашение Эйнштейна|суммирование по немым индексам]].
 
Пусть <math>\mathbf{A}</math> — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим
: <math>\mathbf{Ax} = x^k\mathbf{Ae}_k</math>.
 
Вектора <math>\mathbf{Ae}_k</math> также разложим в выбранном базисе, получим
: <math>\mathbf{Ae}_k = a^j_k\mathbf{e}_j</math>,
 
где <math>a^j_k</math> — <math>j</math>-я координата <math>k</math>-го вектора из <math>\mathbf{Ae}_k</math>.
 
Подставим разложение в предыдущую формулу, получим
: <math>\mathbf{Ax} = x^ka^j_k\mathbf{e}_j = (a^j_kx^k)\mathbf{e}_j</math>.
 
Выражение <math>a^j_kx^k</math>, заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица <math>a^j_k</math> при умножении на столбец <math>x^k</math> даёт в результате координаты вектора <math>\mathbf{Ax}</math>, возникшего от действия оператора <math>\mathbf{A}</math> на вектор <math>\mathbf{x}</math>, что и требовалось получить.
 
{{Коментарий}} Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов <math>\mathbf{e}_k</math>. Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным.
 
== Важные частные случаи ==