Мультиполь: различия между версиями

[отпатрулированная версия][отпатрулированная версия]
Содержимое удалено Содержимое добавлено
Строка 27:
где <math>D^{\alpha_1 \alpha_2} = \sum\limits_i q_i (3 r_i^{\alpha_1}r_i^{\alpha_2} - \delta^{\alpha_1 \alpha_2}\mathbf{r}_i^2 )</math> — [[Квадруполь|квадрупольный]] момент системы зарядов. Введём матрицу <math>D</math> квадрупольного момента. Тогда потенциал в 2-м порядке разложения по мультиполям примет вид
:<math>\varphi(\mathbf{R}) = \frac{q}{R} + \frac{\mathbf{d} \mathbf{n}}{R^2} + \frac{\mathbf{n} D \mathbf{n}}{2 R^3} + O\left(\frac{1}{R^4}\right).</math>
Матрица <math>D</math> является [[След матрицы|бесследовой]], то есть <math>\mathrm{tr} D = 0</math>. Кроме того, она является [[Симметричная матрица|симметричной]], то есть <math>D^T = D</math>.
 
== Мультипольное разложение напряжённости электростатического поля ==
Напряжённость электростатического поля системы зарядов равна градиенту электростатического потенциала, взятому с обратным знаком
:<math>\mathbf{E}(\mathbf{R}) = - \nabla \varphi(\mathbf{R}).</math>
 
Подставив в эту формулу напряжённость мультипольное разложение потенциала, получим мультипольное разложение напряжённости электростатического поля
:<math>\mathbf{E}(\mathbf{R}) = \sum\limits_{l = 0}^{\infty} \mathbf{E}^{(l)}(\mathbf{R}),</math>
где
:<math>(\mathbf{E}^{(l)}(\mathbf{R}))_{\alpha_0} = -\frac{1}{l!} \sum\limits_i q_i r_i^{\alpha_1} \dots r_i^{\alpha_n} \frac{\partial^{l+1}}{\partial R_i^{\alpha_0}\partial R_i^{\alpha_1} \dots \partial R_i^{\alpha_n}} \left( \frac{1}{R} \right)</math>
— электрическое поле <math>2^l</math>-полья.
 
В частности поле точечного заряда (монополя) имеет вид:
:<math>\mathbf{E}^{(0)}(\mathbf{R}) = \frac{Q}{R^2} \mathbf{n},</math>
что соответствует [[Закон Кулона|закону Кулона]].
 
Поле точечного диполя:
:<math>\mathbf{E}^{(1)}(\mathbf{R}) = \frac{3 (\mathbf{n} \mathbf{d})\mathbf{n} - \mathbf{d}}{R^3}.</math>
 
== Мультипольное разложение статического магнитного поля ==
[[Векторный потенциал электромагнитного поля|Векторный потенциал]] зарядов, движущихся с постоянной скоростью имеет вид: