Мультиполь: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
мНет описания правки |
|||
Строка 23:
где <math>\mathbf{n} = \mathbf{R}/R</math> — единичный вектор, направленный вдоль <math>\mathbf{R}</math>. Если ввести [[дипольный момент]] системы зарядов как <math>\mathbf{d} = \sum\limits_i q_i \mathbf{r}_i</math>, то система <math>\varphi^{(1)}(\mathbf{R})</math> совпадёт с потенциалом точечного [[Диполь (электродинамика)|диполя]]. Таким образом, потенциал в 1-м порядке разложения по мультиполям имеет вид
:<math>\varphi(\mathbf{R}) = \frac{q}{R} + \frac{\mathbf{d} \mathbf{n}}{R^2} + O\left(\frac{1}{R^3}\right).</math>
Если <math>q = 0</math>, то дипольный момент не зависит от выбора начала координат. Если <math>q \neq 0</math>, то можно выбрать систему координат с центром в точке <math>\mathbf{R}_0 = \mathbf{d}/q</math>, тогда дипольный момент станет равным нулю. Такая система называется системой центра заряда. Следующий член разложения имеет вид
:<math>\varphi^{(2)}(\mathbf{R}) = \frac{D^{\alpha_1 \alpha_2}n_{\alpha_1}n_{\alpha_2}}{2 R^3},</math>
где <math>D^{\alpha_1 \alpha_2} = \sum\limits_i q_i (3 r_i^{\alpha_1}r_i^{\alpha_2} - \delta^{\alpha_1 \alpha_2}\mathbf{r}_i^2 )</math> — [[Квадруполь|квадрупольный]] момент системы зарядов. Введём матрицу <math>D</math> квадрупольного момента. Тогда потенциал в 2-м порядке разложения по мультиполям примет вид
:<math>\varphi(\mathbf{R}) = \frac{q}{R} + \frac{\mathbf{d} \mathbf{n}}{R^2} + \frac{\mathbf{n} D \mathbf{n}}{2 R^3} + O\left(\frac{1}{R^4}\right).</math>
Матрица <math>D</math> является [[След матрицы|бесследовой]], то есть <math>\mathrm{tr} D = 0</math>. Кроме того, она является [[Симметричная матрица|симметричной]], то есть <math>D^T = D</math>. Поэтому она может быть приведена к диагональному виду с помощью поворота осей декартовых координат.
== Мультипольное разложение напряжённости электростатического поля ==
| |||