Формула конечных приращений: различия между версиями
| [непроверенная версия] | [непроверенная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
MBHbot (обсуждение | вклад) м →Следствия и обобщения: c латинская |
|||
Строка 24:
'''Следствие 1.''' Дифференцируемая на отрезке функция с производной, равной нулю, есть константа.
'''Доказательство.''' Для любых <math>x</math> и <math>y</math> существует точка <math>c</math>, такая что <math>f(y) - f(x) = f'(c) (y - x) = 0</math>.
Значит, при всех <math>x</math> и <math>y</math> верно равенство <math>f(y) = f(x)</math>.
Строка 41:
<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\partial x_i}</math>
'''Доказательство для <math>n=2</math>.''' Зафиксируем значения <math>\Delta x</math> и <math>\Delta y</math> и рассмотрим разностные операторы
:<math>\Delta_x: f(x,y) \rightarrow \frac{f(x+\Delta x,y) - f(x,y)}{\Delta x}</math> и <math>\Delta_y: f(x,y) \rightarrow \frac{f(x,y+\Delta y) - f(x,y)}{\Delta y}</math>.
По теореме Лагранжа существуют числа <math>\theta_1,\theta_2\in(0,1)</math>, такие что
:<math>\Delta_y\Delta_x f(x,y) = \Delta_y\frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,y) = \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x+\theta_1\Delta x,y+\theta_2\Delta y) \rightarrow \frac{\partial}{\partial y}\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)</math>
при <math>(\Delta x,\Delta y)\rightarrow 0</math> в силу непрерывности вторых производных функции <math>f(x,y)</math>.
Аналогично доказывается, что <math>\Delta_x\Delta_y f(x,y)\rightarrow \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)</math>.
Но так как <math>\Delta_y\Delta_x f(x,y) = \Delta_x\Delta_y f(x,y)</math>, (что проверяется непосредственно), то эти пределы совпадают.
'''Замечание.''' Следствием этой формулы является тождество <math>d^2 = 0</math> для оператора [[внешний дифференциал|
'''Следствие 4 ([[Формула Ньютона-Лейбница]]).''' Если функция <math>f(x)</math> дифференцируема на отрезке <math>[a,b]</math> и её производная [[Интеграл Римана|интегрируема по Риману]] на этом отрезке, то справедлива формула: <math>\int\limits_{a}^{b}f'(x)dx = f(b) - f(a)</math>.
'''Доказательство.''' Пусть <math>T</math> - произвольное разбиение <math>a=x_0 < x_1 < x_2 < ... <x_n = b</math> отрезка <math>[a,b]</math>. Применяя теорему Лагранжа, на каждом из отрезков <math>[x_{k-1}, x_k]</math> найдём точку <math>\xi_k</math> такую, что <math>f'(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) = f(x_k) - f(x_{k-1})</math>.
Суммируя эти равенства, получим: <math>\sum\limits_{k=1}^{n} f'(\xi_k) (x_k - x_{k-1}) = \sum\limits_{k=1}^{n} (f(x_k) - f(x_{k-1})) = f(b) - f(a)</math>
'''Замечание.''' Следствием (и обобщением) формулы Ньютона-Лейбница является [[формула Стокса]], а следствием формулы Стокса является [[интегральная теорема Коши]] - основная теорема теории аналитических функций (ТФКП).
| |||