Кратность критической точки: различия между версиями

Удобно также положить <math>\,\mu=0</math> в случае некритической точки.
 
== Функции одной переменной ==
== Случай <math>n=1</math> ==
В этом случае <math>n=1</math>, и кратность <math>\mu</math> критической точки <math>O</math> может быть определена следующим условием:
:<math>
 
<math>
\frac{d^i f}{d x^i}(O) = 0 \quad (\forall i=1, \ldots, \mu), \quad
\frac{d^{\mu+1} f}{d x^{\mu+1}}(O) \neq 0.,
</math>
Значениезначение <math>\,\mu=0</math> соответствует некритической точке.
 
Значение <math>\,\mu=0</math> соответствует некритической точке.
 
Действительно, так как в этом случае степенной ряд функции <math>\nabla f = {\partial f}/{\partial x}</math> начинается с члена <math>x^{\mu},\,</math> то любой элемент <math>g \in \R[[x]]</math> представим в виде <math>g=p_{\mu-1}+ \alpha \cdot \nabla f</math>, где <math>\alpha \in \R[[x]]</math> и <math>p_{\mu-1}\,</math> — многочлен степени <math>\mu-1,\,</math> задаваемый <math>\mu\,</math> коэффициентами, т.е. <math>\dim \, \R[[x]]/I_{\nabla f} = \mu.</math>
 
[[Лемма Морса|Теорема Тужрона]] в этом случае принимает тривиальный вид: в окрестности критической точки конечной кратности <math>\mu</math> существуют координаты, в которых функция имеет вид <math>f(x)=x^{\mu+1}.\,</math>
:<math>f(x)=x^{\mu+1}.\,</math>
 
== Теорема деления ==