Кратность критической точки: различия между версиями

 
* Если <math>r=n</math>, то (по [[Лемма Морса|лемме Морса]]) в окрестности точки <math>O</math> функция <math>f(x)</math> с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду
{{рамка}}
:<math>\sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i^2, \quad \alpha_i = \pm 1.</math>
{{/рамка}}
 
* Если <math>r=n-1</math>, то в окрестности точки <math>O</math> функция <math>f(x)</math> с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду
:<math>\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i x_i^2 + g(x_n), \quad \alpha_i = \pm 1,</math>
:и, если кратность функции <math>g(x_n)</math> равна <math>\mu < \infty</math>, то приводится к виду
{{рамка}}
:<math>\sum_{i=1}^{n-1} \alpha_i x_i^2 + x_n^{\mu+1}, \quad \alpha_i = \pm 1.</math>
{{/рамка}}
 
* Если <math>r=n-2</math>, то в окрестности точки <math>O</math> функция <math>f(x)</math> с помощью выбора гладких локальных координат приводится к виду
:где ряд Тейлора функции <math>g(x_{n-1},x_{n})</math> начинается с мономов степени <math>\geq 3.</math>
::* Если кубическая часть функции <math>g(x_{n-1},x_{n})</math> имеет ''три'' различных (вещественных или комплексных) корня, то <math>f(x)</math> приводится к виду
{{рамка}}
:::<math>\sum_{i=1}^{n-2} \alpha_i x_i^2 + x_{n-1}x_{n}^2 \pm x_{n}^3, \quad \alpha_i = \pm 1.</math>
{{/рамка}}
::* Если кубическая часть функции <math>g(x_{n-1},x_{n})</math> имеет ''два'' различных корня (один из них — кратный), то, при выполнении дополнительного условия общности положения, функция <math>f(x)</math> приводится к виду
{{рамка}}
:::<math>\sum_{i=1}^{n-2} \alpha_i x_i^2 + x_{n-1}x_{n}^2 \pm x_{n}^{\mu+1}, \quad \alpha_i = \pm 1, \quad \mu \geq 3.</math>
{{/рамка}}
 
== Теорема деления ==