Задача Неймана: различия между версиями
| [отпатрулированная версия] | [отпатрулированная версия] |
Содержимое удалено Содержимое добавлено
MPI3 (обсуждение | вклад) простановка навигационного шаблона |
MPI3 (обсуждение | вклад) переработка и дополнение статьи |
||
Строка 1:
'''Зада́ча Не́ймана''', '''вторая краевая задача''' — в [[дифференциальные уравнения|дифференциальных уравнениях]] [[краевая задача]] с заданными граничными условиями для [[Производная|производной]] искомой функции на границе области — так называемые [[граничные условия]] второго рода. По типу области задачи Неймана можно разделить на два типа: ''внутренние'' и ''внешние''.
== Постановка задачи ==
'''Внутренняя задача Неймана'''
: <math> \Delta u = 0</math> в области <math>\Omega</math>
: <math>\frac{\partial u
где
▲\frac{\partial u(x)}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_{\partial G}=u_1,\ u_1\in C(\partial G),
На неограниченных областях <math>\Omega</math> (''
▲где '''n''' — внешняя единичная [[нормаль]] к границе области ''G''.
В общем случае '''второй краевой задачей''', называют задачу решения некоторого дифференциального уравнения в частных производных с заданным поведение производной на границе.
== Условие разрешимости ==
Из [[Теория потенциала|теории потенциала]] известно, что необходимым условием разрешимости внутренней задачи Неймана является выполнение равенства
▲\int\limits_{\partial G}u_1(x)dS_x=0, \qquad \qquad (*)
при этом решение внутренней задачи Неймана может быть найдено лишь с точностью до константы.<ref name="smirnov">{{книга|автор=М. М. Смирнов|заглавие=Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка|место=Москва|издательство=Наука|год=1964}}</ref>
== Аналитическое решение ==
Аналитическое решение для задачи Неймана можно выразить с помощью [[функции Грина]]:
▲На неограниченных областях ''G'' в постановке задачи Неймана добавляется дополнительное условие ограниченности на бесконечности искомой функции ''u''. Решение внешней задачи Неймана в пространстве размерности ''n''>2 единственно, если на бесконечности функция ''u''→0. В двумерном случае решение может быть найдено с точностью до константы, если выполняется условие (*).
: <math>u(\mathbf{x}) = \int_{\partial \Omega} {g(\mathbf{x}) G(\mathbf{x},\mathbf{y}) dx}</math>,
где <math>G(\mathbf{x},\mathbf{y})</math> — [[функция Грина]] для оператора Лапласа в области <math>\Omega</math>.
== Вторые краевые условия в численных методах ==
При решении задачи различными численными методам вторые краевые учитываются по разному:
* В [[метод конечных разностей|методе конечных разностей]] производная <math>\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}</math> аппроксимируется специальной разностной схемой, на той же сетке и полученное уравнение добавляется к общей системе
* В [[метод конечных элементов]] вторые краевые учитываются в вариационной постановке и являются добавками в правую часть уравнения: <math>\mathbf{b}_i = \int_{\Omega}{f(\mathbf{x})\varphi_i(\mathbf{x})dx} + \mathbf{b}_i = \int_{\partial \Omega_2}{u_1(\mathbf{x})\varphi_i(\mathbf{x})dx}</math>, где <math>f(\mathbf{x})</math> — правая часть уравнения, <math>\partial \Omega_2</math> — часть границы, на которых заданы вторые краевые, <math>\varphi_i(\mathbf{x})</math> <math>i</math>-я базисная функция<ref name = fem>{{книга |автор={{nobr|Соловейчик Ю.Г.}}, {{nobr|Рояк М.Э.}}, {{nobr|Персова М.Г.}} |заглавие=Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач |место=Новосибирск |издательство=НГТУ |год=2007 |страниц=896 |isbn = 978-5-7782-0749-9}}</ref>.
== См. также ==
Строка 31 ⟶ 39 :
{{книга|автор=В.М. Уроев.|заглавие=Уравнения математической физики|издательство=М.: ИФ Яуза|год=1998|isbn=5-88923-026-3}}
== Примечания ==
{{примечания}}
{{Математическая физика}}
| |||