Открыть главное меню

Изменения

перенесено со страницы Аффинное подпространство (авторы — на стр. истории правок) по итогу ВП:К объединению/20 сентября 2013
{{к объединению|2013-09-20|Аффинное подпространство}}
{{Значения|Пространство (значения)}}
'''Аффи́нное простра́нство''' — пространство, обобщающее [[аффинная геометрия|аффинные свойства]] [[Евклидово пространство|евклидова пространства]]. Во многом схоже с [[Векторное пространство|векторным пространством]]; однако для аффинного пространства, в отличие от векторного, характерно то, что все точки являются равноправными (в частности, в нём не определено понятие ''нулевой точки'', или ''начала отсчёта'').
 
Данное определение означает{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=193}}, что определена операция ''сложения'' элементов пространства <math>A</math> (называемых ''точками'' аффинного пространства) с векторами из пространства <math>V</math> (которое называют ''пространством свободных векторов'' для аффинного пространства <math>A</math>), удовлетворяющая следующим аксиомам:
:# <math>(M + v) + w = M + (v + w)</math> для всех   <math>M\in A</math> и всех <math>v, w\in V</math>;
:# <math>M + 0 = M</math> для всех <math>M\in A</math>;
:# для любых двух точек <math>M, N\in A</math> существует единственный вектор <math>v\in V</math> (обозначаемый <math>\overrightarrow{MN}</math> или <math>\overrightarrow{N-M}</math>) со свойством <math>N = M + v</math>.
По аналогии с понятием [[линейная независимость|линейной независимости]] векторов вводят понятие ''аффинной независимости'' точек аффинного пространства. Именно: точки <math>P_0, P_1, \ldots, P_n</math> называют{{sfn|Болтянский|1973|с=138}} '''аффинно зависимыми''', если какую-либо из них, скажем, <math>P_0</math>, можно представить в виде ''барицентрической комбинации'' остальных точек. В противном случае эти точки называются '''аффинно независимыми'''.
 
Условию аффинной независимости точек можно придать иную форму: справедливо предложение, по которому точки аффинного пространства аффинно независимы тогда и только тогда, когда не существует нетривиальной [[сбалансированная комбинация|сбалансированной комбинации]] данных точек, равной нулевому вектору<ref>{{книга|автор=[[Александров, Павел Сергеевич|Александров П. С.]], Пасынков В. А.&nbsp;|заглавие=Введение в теорию размерности|место=М.|издательство=Наука|год=1973|страниц=576}} — C. 193.</ref>.
 
[[Размерность пространства|Размерность]] аффинного пространства равна{{sfn|Болтянский|1973|с=135}} по определению размерности соответствующего пространства свободных векторов.
Всякую точку пространства можно представить в виде барицентрической комбинации точек, входящих в точечный базис; коэффициенты этой комбинации называют{{sfn|Кострикин, Манин|1986|с=199}} [[барицентрические координаты|барицентрическими координатами]] рассматриваемой точки.
 
{{к=== объединению|2013-09-20|Аффинное подпространство}} ===
== Вариации и обобщения ==
'''Аффинное подпространство''' ― подмножество <math>M</math> [[векторное пространство|векторного пространства]] <math>E</math>, являющееся сдвигом какого-либо его линейного подпространства <math>L</math>, то есть множество <math>M</math> вида <math>x+L</math> при некотором <math>x\in M</math>.
 
Множество <math>M</math> определяет <math>L</math> однозначно, тогда как <math>x</math> определяется только с точностью до сдвига на вектор из <math>L</math>. [[Размерность пространства|Размерность]] <math>M</math> определяется как размерность подпространства <math>L</math>.
 
Аффинное подпространство, которому соответствует подпространство [[коразмерность|коразмерности]] 1, называется '''[[гиперплоскость]]ю'''.
 
== Вариации и обобщения ==
* Аналогичным образом определяется ''аффинное пространство над [[тело (алгебра)|телом]]''.