Коуравнитель: различия между версиями

В [[теория категорий|теории категорий]] '''коуравнительКоуравнитель''' — это[[Теория категорий|теоретико-категорное]] обобщение понятия фактора по [[отношение эквивалентности|отношению эквивалентности]]. Это понятие [[двойственность (теория категорий)|двойственно]] к понятию [[уравнитель (математика)|уравнителя]], отсюда и название.

'''Коуравнитель''' — это [[предел (теория категорий)|копредел]] диаграммы, состоящей из двух объектов — {{math|''X''}} и {{math|''Y''}}, и двух параллельных [[морфизм]]ов {{math|''f''}}, {{math|''g'' : ''X'' → ''Y''}}.

Более явно, коуравнитель — это объект {{math|''Q''}} вместе с морфизмом {{math|''q'' : ''Y'' → ''Q''}}, таким что {{math|''q'' ∘ ''f'' {{=}} ''q'' ∘ ''g''}}. Более того, пара {{math|(''Q'', ''q'')}} обладает [[универсальное свойство|универсальным свойством]]: для любой другой пары {{math|(''Q''′, ''q''′)}} с тем же свойством существует единственный морфизм {{math|''u'' : ''Q'' → ''Q''′}}, замыкающий следующую диаграмму до [[коммутативная диаграмма|коммутативной]]:

<div style="text-align: center;">[[ИзображениеФайл:Свойство коуравнителя.png]]</div>

Как и любые универсальные конструкции, коуравнитель, если существует, определен с точностью до изоморфизма. Можно показать, что коуравнитель {{math|''q''}} является [[эпиморфизм]]ом в любой категории.

* В [[категория множеств|категории множеств]] коуравнитель двух функций {{math|''f'', ''g'' : ''X'' → ''Y''}} — это [[отношение эквивалентности|фактор]] {{math|''Y''}} по наиболее слабому отношению эквивалентности <math>~\sim</math>, такому что для любого <math>x\in X</math>, верно <math>f(x)\sim g(x)</math>.

* В [[категория групп|категории групп]] ситуация очень похожа: если {{math|''f'', ''g'' : ''X'' → ''Y''}} — гомоморфизмы групп, их коуравнитель — это [[факторгруппа|фактор]] {{math|''Y''}} по [[Нормальное замыкание (теория групп)|нормальному замыканию]] множества

* Для [[абелева группа|абелевых групп]] коуравнитель особенно прост. Это просто [[факторгруппа]] {{math|''Y'' / im(''f'' — ''g'')}}. ([[Коядро (теория категорий)|коядро]] морфизма {{math|''f''}} — {{math|''g''}}).

* В [[категории топологических пространств|категориякатегории топологических пространств]], окружность <math>S^1</math> можно рассматривать как коуравнитель двух вложений стандартного 0-мерного симплекса в стандартный 1-мерный симплекс.

* Коуравнители могут быть довольно большими: существует ровно два функтора из категории '''1''' с одним объектом и одним морфизмом, в категорию '''2''' с двумя объектами и ровно одним нетождественным морфизмом. Коуравнитель этих функторов — [[моноид]] натуральных чисел по сложению, рассматриваемый как категория из одного элемента. Это показывает, что, хотя каждый коуравнитель эпиморфен, он не обязательно [[Сюръективность|сюръективен]].

* ''С. Маклейн'' {{Книга:Категории для работающего математика, — {{М|3}}: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4. С. 65.