Декартово замкнутая категория: различия между версиями

В [[теория категорий|теории категорий]] '''декартовоДекартово замкнутойзамкнутая категория''' — называется, грубо говоря,[[Категория (математика)|категория]], допускающая [[каррирование]]., Длято этого требуетсяесть, в частности,содержащая чтобыдля каждомукаждого классукласса [[морфизм]]ов <math>A\to B</math> в ней соответствовал некоторый объект <math>A\Rightarrow B</math>, представляющий его. Декартово замкнутые категории, находятся,занимают в известномнекотором смысле, промежуточное положение между абстрактными [[теория категорий|категориями]] и [[теория множествМножество|теорией множествмножествами]], так как позволяют корректно оперировать с [[Функция (математика)|функциями]], но не позволяют, к примеру, оперировать с подобъектами.

Категория {{math|''C''}} называется '''декартово замкнутой'''<ref>''С. Маклейн'' {{Книга:Категории для работающего математика, — {{М|4}}: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.</ref>, если она удовлетворяет трём условиям:

* в {{math|''C''}} имеется [[терминальный объект]];

* любые два объекта {{math|''X''}}, {{math|''Y''}} в {{math|''C''}} имеют [[произведение (теория категорий)|произведение]] {{math|''X  ×  Y''}};

* любые два объекта {{math|''Y''}}, {{math|''Z''}} в {{math|''C''}} имеют [[экспоненциал]] {{math|''Z^Y''}}.

* Категория {{math|'''Cat'''}} всех малых категорий (и функторов в качестве морфизмов) декартово замкнута; экспоненциал {{math|''C''^''D''}} — это [[категория функторов]] из {{math|''D''}} в {{math|''C''}} с [[естественное преобразование|естественными преобразованиями]] в качестве морфизмов. Также существует [[категория произведения]] и терминальный объект — категория {{math|'''1'''}} из одного объекта и одного морфизма.

* '''[[ТеорияЭлементарный топосов|Топостопос]]''', является декартово замкнутой категорией по определению.

* '''[[{{нп2|Алгебра Гейтинга]]'''|||Heyting algebra}} также является стандартным примером декартово замкнутой категории. Так как '''[[Булевабулева алгебра]]''' является её частным случаем, она тоже всегда будет декартово замкнутойзамкнута.

В дкартоводекартово замкнутой категории «функция двух переменных» (морфизм {{math|''f'':''X''×''Y'' → ''Z''}}) всегда может быть представлена как «функция одной переменной» (морфизм {{math|λ''f'':''X'' → ''Z''^''Y''}}). В программировании эта операция известна как [[каррирование]]; это позволяет интерпретировать [[просто типизированное лямбда-исчисление]] в любой декартово замкнутой категории. Декартово замкнутые категории служат категорной моделью для [[Лямбда-исчисление с типами|типизированного <math>\lambda</math>-исчислении]] и [[комбинаторная логика|комбинаторной логики]].

[[Соответствие Карри — Ховарда]] предоставляет изоморфизм между интуиционистской логикой, просто типизированным лямбда-исчислением и декартово замкнутыми категориями. ОпределенныеОпределённые декартово замкнутые категории ([[элементарный топос|топосы]]) предлагались как альтернативноеосновные основаниеобъекты альтернативных оснований математики, вместо традиционной [[теория множеств|теории множеств]].

== См. такжеПримечания ==