Многогранник: различия между версиями

87 байт добавлено ,  7 лет назад
м
орфография, пунктуация, стилистика
м (орфография, пунктуация, стилистика)
{{Викисловарь|многогранник}}
[[Файл:Dodecahedron.gif|right|thumb|169px|Додекаэдр]]
'''Многогранник''' или '''полиэдр''' — обычно замкнутая поверхность, составленная из [[многоугольник]]ов, но иногда такжетак же называют тело, ограниченное этой поверхностью.
 
== Определение ==
 
'''Многогранник''', точнее '''трёхмерный многогранник''' — совокупность конечного числа плоских [[многоугольник]]ов в трёхмерном [[евклидово пространство|евклидовом пространстве]], такая, что:
# каждая сторона любого из многоугольников есть одновременно сторона другого (но только одного), называемого '''смежным''' с первым (по этой стороне);
# '''связность''': от любого из многоугольников, составляющих многогранник, можно дойти до любого из них, переходя к смежному с ним, а от этого, в свою очередь, к смежному с ним, и т. д.
Эти многоугольники называются '''гранями''', их стороны — '''рёбрами''', а их вершины — '''вершинами''' многогранника<ref>{{ВТ-ЭСБЕ|Тело геометрическое|[[Селиванов, Дмитрий Фёдорович|Селиванов Д. Ф.]],}}</ref>.
 
ПростейшимиПростейшим примерамипримером многогранниковмногогранника являютсяявляется выпуклыевыпуклый многогранникимногогранник, то есть граница такого ограниченного подмножества евклидова пространства, которое являющеесяявляется пересечением конечного числа полупространств.
 
=== Варианты значения ===
 
ПриведенноеПриведённое определение многогранника получает различный смысл в зависимости от того, как определить [[многоугольник]], для которого возможны следующие два варианта:
* Плоские замкнутые ломаные (хотя бы и самопересекающиеся);
* Части плоскости, ограниченные ломаными.
==Связанные определения==
 
*Многогранник с <math>n</math> гранями называют <math>n</math>-гранникгранником.
**В частности, тетраэдр это пример четырёхгранника, додекаэдр — двенадцатигранник, икосаэдр — двадцатигранник и т.д.
 
== Выпуклый многогранник ==
Многогранник называется '''выпуклым''', если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой его гранейграни.<br />
* Для выпуклого многогранника верна [[Теорема Эйлера для многогранников|теорема Эйлера]] <math>В-Р+Г= 2</math>, где В- количество вершин многогранника, Р- количество реберрёбер, Г- количество граней.
 
== Вариации и обобщения ==
* Понятие многогранника индуктивно обобщается по размерности,; итакое обобщение обычно называется '''''n''-мерныймерным многогранникмногогранником'''.
* Бесконечный многогранник допускает в определении конечное число неограниченных граней и рёбер.
* Криволинейные многогранники допускают криволинейные рёбра и грани.
* [[Сферический многогранник]].